Analitik Düzlemde Doğrular ve Alan Hesabı
Yayınlanma:
Dik koordinat düzlemde d doğrusu ile bu doğrunun düzlemin ikinci bölgesinde kalan parçasının orta noktasından geçen $y = -\frac{1}{12}x + 1$ doğrusu aşağıda verilmiştir.
[Görsel açıklaması: d doğrusu ve $y = -\frac{1}{12}x + 1$ doğrusunun kesiştiği ve oluşturduğu alanları gösteren koordinat düzlemi grafiği]
Şekilde gösterilen sarı ve turuncu renkli bölgelerin alanları birbirine eşit olduğuna göre d doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) 2 B) $\frac{7}{3}$ C) $\frac{8}{3}$ D) 3 E) $\frac{10}{3}$
Soruda görsel içerik var: Bir dik koordinat sisteminde iki doğru bulunmaktadır. Birinci doğru d doğrusudur, sol alttan sağ üste doğru uzanır ve y eksenini pozitif bir noktada keser. İkinci doğru y = -1/12x + 1 denklemine sahiptir ve ikinci bölgeden dördüncü bölgeye iner. Bu iki doğru arasındaki bölgede iki farklı alan oluşmuştur: sarı bölge (ikinci bölgede, üçgen şeklinde) ve turuncu bölge (birinci bölgede, y ekseni ve x ekseni ile sınırlı). İki doğru bir C noktasında kesişmektedir. d doğrusu üzerinde birbirine eşit uzunlukta iki parça işaretlenmiştir, bu parçaların kesişim noktasından geçen bir referans noktası vardır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Melisa! Bu harika geometri sorusunu birlikte adım adım çözelim.
Soru Analizi
Verilenler:
- $y = -\frac{1}{12}x + 1$ doğrusu
- $C$ noktası, $d$ doğrusunun ikinci bölgedeki parçasının orta noktası
- Sarı ve turuncu bölgelerin alanları eşit
- İstenen: $d$ doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı ($y_0$)
İlk olarak mavi doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirleyelim. Bu noktalar yardımıyla alan hesaplaması yapabiliriz.
Mavi Doğrunun Eksenleri Kestiği Noktalar
x yerine sıfır yazdığımızda y eksenini kestiği noktayı bir buluruz. Bu noktaya K diyelim.
y yerine sıfır yazdığımızda ise x eksenini kestiği E noktasını on iki olarak buluruz.
Şimdi turuncu bölgenin alanını hesaplayalım. Gördüğümüz gibi bu bölge dik kenarları bir ve on iki birim olan bir dik üçgendir.
Turuncu Bölgenin Alanı
Soruda sarı ve turuncu bölgelerin alanlarının birbirine eşit olduğu söylenmiş. Demek ki sarı renkli üçgenin alanı da altı birimkaredir.
Şimdi sarı üçgenin alan formülünü yazalım. d doğrusunun y eksenini kestiği F noktasına sıfıra ye sıfır diyelim.
Sarı Üçgenin Alanı
F noktasının koordinatları: $F(0, y_0)$
K noktasının koordinatları: $K(0, 1)$
C noktasının koordinatları: $C(x_C, y_C)$
Sarı üçgenin taban uzunluğu y ekseni üzerindeki F ile K noktaları arasındaki uzaklıktır, yani ye sıfır eksi birdir. Yüksekliği ise C noktasının x koordinatının mutlak değeridir. İkinci bölgede olduğumuz için bu uzunluk eksi x indis C olur.
Buradan, iki ile altıyı çarparak, ye sıfır eksi bir çarpı eksi x indis C değerini on iki olarak elde ederiz.
Şimdi de orta nokta özelliğini kullanalım. C noktası, d doğrusunun eksenleri kestiği D ve F noktalarının orta noktasıdır.
Orta Nokta Özelliği
D noktası x ekseni üzerinde: $D(x_D, 0)$
F noktası y ekseni üzerinde: $F(0, y_0)$
Buradan, C noktasının y koordinatının, ye sıfır bölü ikiye eşit olduğunu görürüz.
C noktası mavi doğru üzerinde yer aldığı için, doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
y indis C yerine ye sıfır bölü iki yazarak bu iki ifadeyi birleştirelim.
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
