Analitik Düzlemde Dikdörtgenin Çevrel Çemberi

Merhaba babanen, eksenlere paralel kenarlı bir dikdörtgen ve onun çevrel çemberini içeren harika bir analitik geometri sorusunu birlikte çözelim.

İlk olarak soruda bize verilen çevrel çemberin denklemine bakalım: x kare artı y kare eksi on sekiz x artı elli altı eşittir sıfır.

Merkez ve yarıçapı rahatça bulabilmek için bu denklemi tam kareye tamamlamalıyız. Bunun için x'li terimleri bir araya gruplayarak başlayalım.

x kare eksi on sekiz x ifadesinin x eksi dokuzun tam karesine çok benzediğini görüyoruz, sadece seksen bir eksik kalıyor. O zaman ifadeyi buna uygun yazalım.

Sayıları karşı tarafa attığımızda, eksi elli altı artı seksen birden karşı taraf yirmi beş çıkacaktır.

Çember denkleminin x eksi a nın karesi artı y eksi b nin karesi eşittir r kare şeklinde olduğunu hatırlayalım. Demek ki çevrel çemberimizin merkezi, apsisi dokuz, ordinatı sıfır olan bir noktadır ve yarıçapı beş birimdir.

Şimdi bu durumu daha iyi anlamak için koordinat düzleminde çizerek görselleştirelim. Çemberi ve köşeleri bu çemberin üzerinde yer alacak dikdörtgeni yerleştirelim.

M merkez noktasının dikdörtgenin köşelerine olan uzaklığı elbette çevrel çemberin yarıçapına, yani 5 birime eşittir.

Merkezin yatay ve dikey kenarlara olan dik, en kısa mesafelerine a ve b diyelim. Buralarda oluşan dik üçgen üzerinden bir denklem kurabiliriz.

Bu dik üçgende Pisagor teoremini uyguladığımızda, dik kenarlar olan a ve b nin kareleri toplamı hipotenüsün yani yarıçapın karesi yirmi beşe eşit olacaktır.

Diğer yandan soruda dikdörtgenin çevresi de yirmi sekiz birim olarak verilmiş. Dikdörtgenin kenarları merkezi ortaladığından iki a ve iki b uzunluğundadır, toplam çevre dört a artı dört b olur.

Denklemdeki her iki tarafı dörde bölerek sadeleştirirsek, a artı b toplamının yedi olduğunu kolayca elde ederiz.

Artık elimizde iki tane temel denklemimiz var. Bu denklemler yardımıyla kenarlara paylaştırdığımız a ve b uzunluk değerlerini kesinleştireceğiz.