Altıgenlerde Sayıların Asal Çarpanları ve Toplamı

Merhaba arkadaşlar! Bu videoda LGS denemelerinden harika bir çarpanlar ve katlar sorusunu birlikte çözeceğiz. Öncelikle verilen görseli ve kuralları dikkatlice inceleyelim.

Şeklimizde beş adet altıgen var. Bunlardan A, B ve C iki basamaklı doğal sayılardır. Ayrıca bu üç sayının birbirinden farklı olduğunu soru bize belirtmiş.

Peki, D ve E sayıları nedir? Soruya göre, ortak kenara sahip iki altıgendeki sayıların ortak asal çarpanlarıdır. Yani D sayısı, A ve B'nin ortak asal çarpanıdır. Benzer şekilde, E sayısı da B ve C'nin ortak asal çarpanıdır.

Buna ek olarak, A ve C sayılarının yalnızca birer adet asal çarpanı olduğu, B'nin ise tam iki adet asal çarpanı olduğu söylenmiş.

Şimdi bu bilgileri matematiksel olarak ifade edelim. D ve E sayıları sırasıyla p ve q gibi farklı asal sayılar olsun.

A sayısının yalnızca bir asal çarpanı vardır ve d bu sayının çarpanıdır. O halde A'nın tek asal çarpanı p olmak zorundadır. Yani A sayısı, p'nin bir kuvvetidir.

Aynı şekilde C sayısının da tek bir asal çarpanı vardır ve o da e'dir. Yani C sayısı, q'nun bir kuvvetidir.

B sayısının ise iki adet asal çarpanı vardır. Bu çarpanlar hem A ile ortak olan p, hem de C ile ortak olan q'dur. Dolayısıyla B sayısı, p ile q'nun çarpımından oluşur.

Amacımız tüm altıgenlerdeki sayıların toplamını yani A, B, C, D ve E'nin toplamını en az yapmak. Bu toplamı ekrana yazalım.

A, B ve C sayılarının iki basamaklı, yani en az on olması gerektiğini unutmayalım. Şimdi farklı asal sayı çiftleri için en küçük durumları deneyelim.

İlk olarak en küçük asalları, yani iki ve üçü deneyelim. p esittir iki ve q esittir üç olsun.

Bu durumda A, ikinin iki basamaklı en küçük kuvveti olan on altı olur. C ise, üçün iki basamaklı en küçük kuvveti olan yirmi yedi olur.