Alt Küme Elemanları Çarpımı ve Doğal Sayılar

Merhaba! Bu soruda E kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden hangilerinin elemanları çarpımının bir doğal sayı olduğunu bulacağız.

İlk olarak kümemizdeki elemanları türlerine göre ayıralım. Doğal sayı olanlar, sıfır, bir ve ikidir. Tamsayı ancak negatif olanlar, eksi bir ve eksi ikidir. İrrasyonel olanlar ise eksi kök üç, eksi kök iki ve kök üçtür.

Çarpımın bir doğal sayı, yani sıfır veya pozitif bir tamsayı olması gerekiyor. İlk durumu inceleyelim. Eğer kümede sıfır varsa, diğer iki eleman ne olursa olsun çarpım sıfır olacaktır.

Sıfırın yanına kalan yedi elemandan herhangi ikisini seçebiliriz. Yedi elemanın ikili kombinasyonu yirmidir.

Şimdi içinde sıfır olmayan ve çarpımı pozitif tamsayı olan durumları arayalım. Geriye kalan elemanlarımız eksi iki, eksi bir, bir, iki ve irrasyonel köklü sayılar.

Kalan rasyonel sayıları listeleyelim: eksi iki, eksi bir, bir ve iki. Bu dört sayıdan seçeceğimiz üç sayının çarpımı doğal sayı olmalı. Çarpımın pozitif olması için ya üçü de pozitif olmalı ya da iki negatif bir pozitif olmalı.

Birinci alt durum: seçeceğimiz üç sayının tamamı rasyonel kümesinden olsun. İki negatif, bir pozitif seçerek pozitif sayı elde edebiliriz.