A ve B Merkezli Yarım Çemberlerin Kesişim Alanı

Selam! Bugün birlikte 2020 AYT'de sorulmuş bu harika geometri sorusunu çözeceğiz. Verilenlere göre boyalı bölgenin alanını bulmamız isteniyor.

Öncelikle soruda verilen kritik bilgileri not edelim. A merkezli bir yarım çemberimiz ve B merkezli bir başka yarım çemberimiz var. AC ve BC uzunlukları 12 birim olarak verilmiş.

Şekli daha iyi anlamak için merkezi ve yarıçapları gösteren bir çizim yapalım. A ve B arasındaki mesafenin de 12 birim olduğunu fark edelim, çünkü her iki nokta birbirinin çemberi üzerindedir.

Şimdi C noktasını da ekleyelim. AC ve BC uzunlukları 12 birim olduğu için, ABC üçgeni tüm kenarları 12 birim olan bir eşkenar üçgendir.

Eşkenar üçgen olduğu için tepe açısı 60 derecedir. Boyalı alan, AC yayının altındaki ve BC yayının altındaki iki büyük parçadan oluşuyor.

Boyalı alanı hesaplamak için stratejimizi belirleyelim. Şekil aslında iki tane 60 derecelik daire diliminin birleşimi gibi görünüyor ancak ABC eşkenar üçgeni bu birleşimde iki kez sayılıyor.

Simetriden dolayı boyalı bölge, ABC eşkenar üçgeninin her iki kenarı üzerine binen dairesel segmentlerden ve üçgenin kendisinden oluşur. Toplam alan, 60 derecelik iki daire diliminin alanları toplamından eşkenar üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.

Hadi hesaplamalara başlayalım. Önce 60 derecelik bir daire diliminin alanını bulalım. Formülümüz pi çarpı r kare çarpı alfa bölü 360'tır.

60 bölü 360, 6'da bir eder. 12'nin karesi ise 144'tür.

144'ü 6'ya böldüğümüzde bir dilimin alanını 24 pi birimkare olarak buluruz.