A ve B kümelerinin kesişiminde bulunan $\sqrt[12]{n}$ sayısı

MathematicsKüme Problemleri ve Köklü SayılarZorYKS

Yayınlanma:

Soru

5. A ve B kümeleri

$$A = \{x : \sqrt[3]{3} < x < \sqrt[4]{5}, \quad x \in \mathbb{R}\}$$

$$B = \{x : \sqrt[6]{10} < x < \sqrt[3]{12}, \quad x \in \mathbb{R}\}$$

şeklinde veriliyor.

$$\sqrt[12]{n} \in (A \cap B)$$

olduğuna göre, kaç farklı n tam sayısı vardır?

A) 24

B) 27

C) 36

D) 43

E) 45

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Beyza, gel bu köklü sayı ve küme sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Küme Kesişimi ve Köklü İfadeler

2
Adım 2

Öncelikle bize verilen A ve B kümelerinin aralıklarını dikkatlice inceleyelim. A kümesi, üçün küp kökü ile beşin dördüncü dereceden kökü arasındaki reel sayılardan oluşuyor.

$$A = \{x : \sqrt[3]{3} < x < \sqrt[4]{5}, \quad x \in \mathbb{R}\}$$
3
Adım 3

B kümesi ise, on sayısının altıncı dereceden kökü ile on iki sayısının karekökünün küp kökü, yani altıncı dereceden kökü arasındadır.

$$B = \{x : \sqrt[6]{10} < x < \sqrt[3]{\sqrt{12}}, \quad x \in \mathbb{R}\}$$
4
Adım 4

B kümesindeki sağ sınırı sadeleştirelim. İç içe köklerde dereceler çarpılır, yani bu ifade on ikinin altıncı dereceden köküne eşittir.

5
Adım 5

Soruda n sayısının on ikinci dereceden kökünün, A ve B kümelerinin kesişiminde olduğu söyleniyor. Bu durumda tüm sınırları on ikinci dereceden kök cinsinden yazmalıyız.

Ortak Payda: 12. Dereceden Kökler

$$\sqrt[12]{n} \in (A \cap B)$$
6
Adım 6

A kümesinin sol sınırı olan üçün küp köküne bakalım. Dereceyi on iki yapmak için hem dereceyi hem de içerideki sayının üssünü dört ile çarparız. Üç üzeri dört, seksen bir eder.

$$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[12]{81}$$
7
Adım 7

A kümesinin sağ sınırı olan beşin dördüncü dereceden kökü için dereceyi üç ile genişletiriz. Beşin küpü yüz yirmi beşe eşittir.

$$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$$
8
Adım 8

Şimdi A kümesi için yeni aralığımızı yazalım. x değeri, seksen birin on ikinci kökü ile yüz yirmi beşin on ikinci kökü arasındadır.

$$A = (\sqrt[12]{81}, \sqrt[12]{125})$$
9
Adım 9

Şimdi aynısını B kümesi için yapalım. Sol sınır on sayısının altıncı dereceden köküdür. Dereceyi ikiyle genişletirsek, on karesinden yüz sayısının on ikinci kökünü elde ederiz.

B Kümesi Genişletme

$$\sqrt[6]{10} = \sqrt[6 \cdot 2]{10^2} = \sqrt[12]{100}$$
10
Adım 10

B kümesinin sağ sınırı olan on iki sayısının altıncı dereceden kökü için de aynı işlemi yapalım. On ikinin karesi yüz kırk dörttür.

$$\sqrt[6]{12} = \sqrt[6 \cdot 2]{12^2} = \sqrt[12]{144}$$

Çözümün devamı Solvi’de

10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Küme Problemleri ve Köklü Sayılar
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Kutulardaki Bilye Sayıları ve Olasılık Probability · Zor İki silindirin boyalı yüzey alanları Cylinder Geometry · Orta Benzer Dikdörtgen Alanı Hesaplama Benzerlik · Orta İnternet Operatörleri Ücretlendirme Fonksiyonları Functions · Kolay Dikdörtgen Kesimi ve Alan Farkı Problemi Algebraic Expressions · Zor Çadır İp Uzunluğu Problemi Triangle Inequalities · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir