Zuordnung von Funktionsgraphen zu h, h' und k
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1.4 Gegeben sind die Abbildungen A, B und C. Sie zeigen die Schaubilder einer Funktion $h$, der Ableitungsfunktion $h'$ von $h$ und einer weiteren Funktion $k$. Begründen Sie, welche Abbildung zum Schaubild von $h$, $h'$ und $k$ gehört.
(3 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Drei Koordinatensysteme (A, B, C) auf Millimeterpapier-Hintergrund. Graph A: Eine punktsymmetrische Funktion mit einer Nullstelle bei ca. $x = 2$, einem Tiefpunkt bei $x = 1$ und einem Hochpunkt bei $x = -1$. Graph B: Eine Funktion, die im Intervall $[-3, 3]$ zwei lokale Extremstellen aufweist: einen Tiefpunkt bei ca. $x = 2$ und einen Hochpunkt bei ca. $x = -2$ (oder Sattelpunkt/Flachstelle). Die Werte sind durchweg positiv. Graph C: Eine Funktion mit einer doppelten Nullstelle bei $x = -1$ (Tiefpunkt auf der x-Achse) und einem Hochpunkt bei ca. $x = 0.5$. Sie hat Nullstellen bei ca. $x = -1$ und $x = 2$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir drei Graphen A, B und C den Funktionen h, h-Strich und einer weiteren Funktion k zuordnen. Dabei ist h-Strich die Ableitung von h.
Zuordnung der Graphen
Erinnern wir uns an den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung: Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Extrempunkten der Ausgangsfunktion.
Betrachten wir Graph B. Er hat zwei Extrempunkte. Einen Hochpunkt bei x gleich minus drei und einen Tiefpunkt bei x gleich zwei.
Analyse von Graph B
Schauen wir uns nun Graph A an. Wir sehen, dass A genau bei x gleich minus drei und x gleich zwei Nullstellen hat.
Das passt perfekt zusammen. Wenn B die Funktion h ist, dann ist A ihre Ableitung h-Strich. Überprüfen wir das Monotonieverhalten.
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