Extremstelle und Monotonie einer Funktion bestimmen
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3.5 Gegeben ist die Ableitungsfunktion $g'$ einer Funktion $g$ durch
$$g'(x) = e^{\frac{1}{3}x} - 3 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$
Berechnen Sie die Extremstelle von $g$.
Für welche x-Werte verläuft das Schaubild von $g$ steigend? (6 Punkte)
Animierte Videolösung
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns die Ableitungsfunktion g Strich von x an. Wir sollen die Extremstelle von g berechnen und bestimmen, wo die Funktion g steigend verläuft.
Extremstellen und Monotonie von g
Die Ableitung ist gegeben durch g Strich von x gleich e hoch ein Drittel x minus drei. Um die Extremstellen zu finden, setzen wir die erste Ableitung gleich Null.
Zuerst addieren wir drei auf beiden Seiten der Gleichung.
Jetzt wenden wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten an, um die Exponentialfunktion aufzulösen.
Da der Logarithmus die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist, vereinfacht sich die rechte Seite zu ein Drittel x.
Um x allein stehen zu haben, multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit drei.
Das ist unsere gesuchte Extremstelle. Wir können sie auch als ln von drei hoch drei schreiben, was ln von siebenundzwanzig wäre. Aber schauen wir uns nun den Bereich an, in dem die Funktion steigt.
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