Analyse von Funktionsgraphen und Ableitungswerten
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1.5 Gegeben ist das Schaubild $K_f$ einer Funktion $f$ sowie eine Wertetabelle für $f$, $f'$ sowie $f''$. Die Wertetabelle enthält genau vier Fehler.
Begründen Sie, welche Werte nicht mit dem Schaubild $K_f$ übereinstimmen.
| $x$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | $0$ | $2$ | $0$ | $0$ |
| $f'(x)$ | $0$ | $0,8$ | $3,2$ | $-7,2$ |
| $f''(x)$ | $-3$ | $-2,4$ | $0$ | $12$ |
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Die Abbildung zeigt ein Koordinatensystem mit dem Graphen $K_f$ einer Funktion. Der Graph ist eine Kurve vierten Grades mit lokalen Minima bei ca. $x = -2$ und $x = 3$ sowie einem lokalen Maximum bei ca. $x = 0,5$. Nullstellen sind erkennbar bei $x = -2$, $x = 2$ und einem Punkt zwischen 4 und 5. Rechts daneben befindet sich eine Tabelle mit vier Spalten für $x$-Werte $(-2, 0, 2, 4)$ und drei Zeilen für $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$. Tabellenwerte: Für $x=-2$: $f(x)=0, f'(x)=0, f''(x)=-3$. Für $x=0$: $f(x)=2, f'(x)=0,8, f''(x)=-2,4$. Für $x=2$: $f(x)=0, f'(x)=3,2, f''(x)=0$. Für $x=4$: $f(x)=0, f'(x)=-7,2, f''(x)=12$.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir eine Wertetabelle für eine Funktion f und ihre ersten beiden Ableitungen überprüfen. Uns wird gesagt, dass genau vier Fehler in der Tabelle enthalten sind. Vergleichen wir die Werte Schritt für Schritt mit dem Graphen K f.
Analyse der Wertetabelle
Gesucht: 4 fehlerhafte Werte.
Betrachten wir zuerst die Zeile für f von x. Bei x gleich minus zwei berührt der Graph die x-Achse, also ist der Funktionswert null. Bei x gleich null ist der Schnittpunkt mit der y-Achse bei zwei. Bei x gleich zwei schneidet der Graph die x-Achse ebenfalls. Alles korrekt.
Aber schauen wir uns x gleich vier an. Im f-Graphen geht die Kurve bei x gleich vier steil nach oben, sie liegt weit oberhalb der x-Achse. In der Tabelle steht jedoch eine Null. Das ist unser erster Fehler.
Untersuchen wir nun die Ableitung f strich von x, also die Steigung. Bei x gleich minus zwei hat die Funktion ein lokales Minimum. Die Tangente ist dort waagerecht, die Steigung ist also null. Das stimmt mit der Tabelle überein.
Was ist mit x gleich null? Der Graph steigt an dieser Stelle deutlich an. Ein positiver Wert von null komma acht erscheint plausibel.
Nun zu x gleich zwei. An dieser Stelle fällt der Graph f steil ab. Eine positive Steigung von drei komma zwei kann also unmöglich stimmen. f strich von zwei müsste negativ sein. Das ist der zweite Fehler.
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