Untersuchung von Extremstellen und Monotonie einer Funktion
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3.5 Gegeben ist die Ableitungsfunktion $g'$ einer Funktion $g$ durch
$$g'(x) = e^{\frac{1}{3}x} - 3 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$
Berechnen Sie die Extremstelle von $g$.
Für welche $x$-Werte verläuft das Schaubild von $g$ steigend? (6 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Ableitungsfunktion g Strich von x. Wir sollen die Extremstelle von g berechnen und bestimmen, in welchem Bereich die Funktion steigend verläuft.
Extremstellen und Monotonie
Gegeben ist die Ableitung g Strich von x gleich e hoch ein Drittel x minus drei.
Um die Extremstellen der ursprünglichen Funktion g zu finden, müssen wir die Nullstellen der Ableitung bestimmen. Wir setzen also g Strich von x gleich null.
Daraus ergibt sich die Gleichung: e hoch ein Drittel x minus drei ist gleich null.
Zuerst addieren wir drei auf beiden Seiten der Gleichung.
Um das x aus dem Exponenten zu holen, wenden wir den natürlichen Logarithmus, kurz ln, auf beide Seiten an.
Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, vereinfacht sich die linke Seite zu ein Drittel x.
Nun multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit drei, um x isolieren.
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