Analyse von Funktionsgraphen und Ableitungswerten
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f' sowie f''. Die Wertetabelle enthält genau vier Fehler. Begründen Sie, welche Werte nicht mit dem Schaubild $K_f$ überein[stimmen].
| x | -2 | 0 | 2 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | 0 | 2 | 0 | 0 |
| $f'(x)$ | 0 | 0,8 | 3,2 | -7,2 |
| $f''(x)$ | -3 | -2,4 | 0 | 12 |
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen $K_f$ einer Funktion vierten Grades. Der Graph hat einen lokalen Tiefpunkt bei $x \approx -2$ auf der x-Achse, einen lokalen Hochpunkt bei $x \approx 0.5$ mit $y \approx 3$ und einen weiteren lokalen Tiefpunkt bei $x \approx 3$ mit $y \approx -2.5$. Rechts daneben steht eine Wertetabelle mit den Spalten $x$ (-2, 0, 2, 4) und den Zeilen $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$. Werte in der Tabelle: Für $x=-2$: $f(x)=0, f'(x)=0, f''(x)=-3$. Für $x=0$: $f(x)=2, f'(x)=0,8, f''(x)=-2,4$. Für $x=2$: $f(x)=0, f'(x)=3,2, f''(x)=0$. Für $x=4$: $f(x)=0, f'(x)=-7,2, f''(x)=12$.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir vier Fehler in der Wertetabelle finden, die nicht mit dem Graphen der Funktion f übereinstimmen. Schauen wir uns dazu den Graphen K f und die Tabelle Schritt für Schritt an.
Fehleranalyse: Graph vs. Wertetabelle
Prüfen wir zuerst die Funktionswerte f von x bei den gegebenen Stellen. Bei x gleich minus zwei berührt der Graph die x-Achse. Der Wert Null in der Tabelle ist also korrekt.
1. Überprüfung von $f(x)$
An der Stelle x gleich Null liegt der y-Achsenabschnitt bei drei. In der Tabelle steht jedoch der Wert zwei. Das ist unser erster Fehler.
Bei x gleich zwei schneidet der Graph die x-Achse, also ist f von zwei gleich Null richtig. Aber bei x gleich vier ist der Funktionswert positiv, nicht Null. Das ist der zweite Fehler.
Untersuchen wir nun die erste Ableitung f strich, welche die Steigung des Graphen angibt.
2. Überprüfung von $f'(x)$ (Steigung)
An der Stelle x gleich minus zwei hat der Graph einen Tiefpunkt. Dort muss die Steigung Null sein. Der Tabellenwert Null ist also korrekt.
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