Yerel Ekstremum Noktası Problemi

Selam dostlar! Bugün türev ve yerel ekstremum kavramlarını içeren güzel bir AYT sorusu çözeceğiz. K artı m toplamını arıyoruz.

Bize verilenleri bir özetleyelim. F fonksiyonu üçüncü dereceden bir polinom. G fonksiyonu ise x küp çarpı f x olarak tanımlanmış.

Soruda g fonksiyonunun x eşittir eksi bir noktasında bir yerel ekstremumu olduğu söyleniyor. Bu, g'nin eksi birdeki türevinin sıfır olduğu anlamına gelir.

Şimdi g fonksiyonunun türevini alalım. Burada çarpımın türevi kuralını uygulamalıyız. Birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci.

Bu denklemde x yerine eksi bir yazarak işleme devam edelim.

Eksi birin karesi bir yapar, küpü ise eksi birdir. Düzenlersek, sıfır eşittir üç tane f eksi bir, eksi f türev eksi bir sonucuna ulaşırız.

Buradan f türev eksi birin, üç tane f eksi bire eşit olduğunu buluruz. Bu bizim en önemli ipucumuz olacak.

Şimdi f fonksiyonuna geri dönelim ve değerlerini hesaplayalım. Önce f eksi biri bulalım.

Hesaplamayı yaparsak, eksi iki eksi dokuz artı m eksi k elde ederiz. Yani m eksi k eksi on bir.

Şimdi f türev x'i bulup orada da eksi bir koyalım. F'in türevi altı x kare eksi on sekiz x eksi m'dir.

X yerine eksi bir yazdığımızda, altı çarpı bir artı on sekiz eksi m, yani yirmi dört eksi m gelir.

Hatırlarsanız f türev eksi bir, üç tane f eksi bire eşitti. Bulduğumuz değerleri bu eşitlikte yerine koyalım.