Untersuchung und Integral einer trigonometrischen Funktion
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Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = 2 - 2\cos(0,5\pi x)$, $x \in [0, 6]$.
4.4 Geben Sie den Wertebereich an und skizzieren Sie das Schaubild von h. (4 Punkte)
4.5 Begründen Sie, warum gilt: $\int_{0}^{4} h(x)dx > 0$.
Um wie viele Längeneinheiten muss das Schaubild von $h$ mindestens in y-Richtung verschoben werden, damit $\int_{0}^{4} h(x)dx > 0$ nicht mehr gilt? (4 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir beschäftigen uns heute mit der Funktion h von x gleich zwei minus zwei mal Kosinus von null Komma fünf Pi x. Beginnen wir mit Teilaufgabe vier Punkt vier.
Analyse der Funktion $h(x)$
Zunächst suchen wir den Wertebereich. Da die Kosinusfunktion Werte zwischen minus eins und eins annimmt, betrachten wir die Extremwerte.
Multiplizieren wir dies mit minus zwei, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Wir erhalten Werte zwischen minus zwei und plus zwei.
Addieren wir nun die zwei von der Funktion h dazu. Das ergibt einen Bereich von null bis vier.
Der Wertebereich der Funktion h liegt also im Intervall von null bis vier.
Skizzieren wir nun den Graphen. Die Periode berechnet sich aus zwei Pi geteilt durch den Faktor vor dem x, also null Komma fünf Pi. Das ergibt eine Periode von vier.
Skizze des Schaubilds
In das Koordinatensystem zeichnen wir die Funktion ein. Sie startet bei x gleich null im Ursprung, erreicht bei zwei das Maximum von vier und kehrt bei vier wieder zur Nullstelle zurück.
In Teilaufgabe vier Punkt fünf sollen wir begründen, warum das Integral von null bis vier über h von x größer als null ist.
Analyse des Integrals
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