Analyse trigonometrischer Funktionen
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Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = 2\sin(\pi x) + 2$, $x \in [-1; 2]$ und ihr Schaubild $K_f$.
3.5 Geben Sie die Nullstellen von f an.
$K_f$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.
(6 Punkte)
3.6 Betrachtet wird die Gleichung
$2\sin(\pi x) + 2 = 1$.
Formulieren Sie zum Schaubild $K_f$ eine Aufgabenstellung, zu deren Beantwortung diese Gleichung gelöst werden müsste.
Bestimmen Sie die Lösungen dieser Gleichung. (6 Punkte)
3.7 Skizzieren Sie das Schaubild einer trigonometrischen Funktion, das punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft und eine Periodenlänge von 6 hat.
Geben Sie einen Funktionsterm zu Ihrem Schaubild an. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen $K_f$ einer periodischen Funktion im Intervall $x \in [-1.5, 2.5]$. Die y-Achse ist von 0 bis 4 beschriftet, die x-Achse von -1 bis 2. Der Graph ist eine nach oben verschobene Sinuskurve. Er berührt die x-Achse bei $x = -0.5$ und $x = 1.5$. Bei $x = 0$ hat die Funktion den Wert 2. Das Maximum der Kurve liegt bei $x = 0.5$ mit $y = 4$. Das Minimum liegt bei $x = -0.5$ und $x = 1.5$ auf der x-Achse ($y = 0$). Es ist ein Gitter hinterlegt.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Gegeben ist die Funktion f von x gleich zwei Sinus von pi x plus zwei. In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit Nullstellen, Flächenberechnungen und Funktionsgleichungen.
Analysis trigonometrischer Funktionen
Beginnen wir mit Aufgabe 3 Punkt 5. Wir suchen die Nullstellen von f, also die Stellen, an denen der Funktionswert null ist.
3.5 Nullstellen und Fläche
Wir setzen den Funktionsterm gleich null und lösen nach x auf.
Zuerst subtrahieren wir zwei und teilen dann durch zwei. Das ergibt Sinus von pi x gleich minus eins.
Der Sinus ist minus eins bei drei halbe pi, sieben halbe pi und so weiter. Im gegebenen Intervall von minus eins bis zwei ist dies nur bei minus ein halb und drei halbe der Fall.
Daraus ergeben sich die Nullstellen x eins gleich minus null komma fünf und x zwei gleich eins komma fünf.
Nun berechnen wir den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt. Da der Graph im Bereich zwischen den Nullstellen immer oberhalb der x-Achse liegt, berechnen wir das Integral von minus null komma fünf bis eins komma fünf.
Die Stammfunktion lautet minus zwei durch pi mal Cosinus von pi x plus zwei x.
Beim Einsetzen der Grenzen fällt der Cosinus-Term weg, da Cosinus von drei halbe pi und minus halbe pi jeweils null ist. Es bleibt zwei mal eins komma fünf minus zwei mal minus null komma fünf.
Das Ergebnis für den Flächeninhalt ist also genau vier.
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