Analyse und Integration von trigonometrischen Funktionen
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3 Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 3 \cdot \cos(x)$.
a) Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx$ an.
b) Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ ist gegeben durch $g(x) = a \cdot f(x) + b \cdot x$ mit reellen Zahlen $a$ und $b$. Die Punkte $(0 | -3)$ und $(\frac{\pi}{2} | \frac{3}{4}\pi)$ liegen auf dem Graphen von $g$. Ermitteln Sie $a$ und $b$.
(Fortsetzung nächste Seite)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen einer periodischen Funktion $f(x) = 3 \cdot \cos(x)$. Die y-Achse reicht von -3 bis 3. Die x-Achse ist in Einheiten von $\pi$ skaliert mit Markierungen bei $-\pi$, $-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ und $2\pi$. Der Graph hat sein Maximum von 3 bei $x=0$ und $x=2\pi$, sein Minimum von -3 bei $x=-\pi$ und $x=\pi$, und Nullstellen bei $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$. Das Bild ist als 'Abb. 1' beschriftet.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Willkommen zu dieser Mathematikaufgabe. Wir betrachten die Funktion f von x gleich drei mal Kosinus x und lösen zwei Teilaufgaben dazu.
Analyse der Funktion f(x) = 3 cos(x)
In Aufgabenteil a sollen wir das Integral von null bis pi über f von x bestimmen.
a) Integral berechnen
Wir können die Konstante 3 vor das Integral ziehen und suchen dann die Stammfunktion von Kosinus x, welche Sinus x ist.
Nun setzen wir die Grenzen ein: Sinus von pi minus Sinus von null.
Da sowohl Sinus pi als auch Sinus null gleich null sind, erhalten wir drei mal null minus null.
Das Ergebnis für das Integral ist also null. Das macht auch geometrisch Sinn, da sich die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse zwischen null und pi genau aufheben.
Kommen wir zu Teil b. Hier ist eine neue Funktion g von x gegeben, die aus einer Skalierung von f und einem linearen Term besteht.
b) Parameter a und b bestimmen
Wir haben zwei Punkte gegeben, die auf dem Graphen von g liegen. Nutzen wir zuerst den Punkt null minus drei.
Punkt P(0 | -3):
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