Untersuchung einer Exponentialfunktion
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Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = 3e^{-0,5x} + 4, \ x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_h$.
2.4 Skizzieren Sie $K_h$. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an $K_h$ an der Stelle $x = 0$. (5 Punkte)
2.5 Ermitteln Sie die Stelle, an der die momentane Änderungsrate von $h$ den Wert $-1$ hat. (3 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe arbeiten wir mit der Funktion h von x gleich drei mal e hoch minus null komma fünf x plus vier. Wir werden den Graphen skizzieren, eine Tangentengleichung bestimmen und eine Änderungsrate berechnen.
Beginnen wir mit Aufgabe zwei punkt vier: der Skizze von K h. Wir betrachten das Verhalten für große x-Werte. Wenn x gegen unendlich geht, nähert sich der e-Term der Null an.
2.4 Skizze und Tangente
Das bedeutet, wir haben eine waagerechte Asymptote bei y gleich vier. Berechnen wir nun den y-Achsenabschnitt, indem wir Null für x einsetzen.
Da e hoch Null eins ist, ergibt sich drei plus vier, also sieben. Der Punkt Null Stab Sieben liegt auf dem Graphen.
Hier sehen wir die Skizze. Die Kurve fällt von links oben kommend und nähert sich asymptotisch der Geraden y gleich vier an.
Jetzt berechnen wir die Tangentengleichung an der Stelle x gleich Null. Die allgemeine Form lautet y gleich m mal x plus c.
Tangente an der Stelle x = 0
Zuerst bilden wir die Ableitung h strich von x mit der Kettenregel. Die innere Ableitung ist minus null komma fünf.
Das vereinfacht sich zu minus eins komma fünf mal e hoch minus null komma fünf x.
Die Steigung m ist der Wert der Ableitung bei Null. Also minus eins komma fünf mal eins.
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