Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Exponentialfunktion
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1.5 Zeigen Sie, dass das Schaubild der Funktion h mit $h(x) = e^x - x, x \in \mathbb{R}$ für $x < 0$ fällt. (3 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir zeigen, dass der Graph der Funktion h von x gleich e hoch x minus x für alle x kleiner als null fallend ist.
Monotonie untersuchen
Um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen, untersuchen wir das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung.
Strategie: Zeige, dass $h'(x) < 0$ fu00fcr $x < 0$.
Leiten wir also h nach x ab. Die Ableitung von e hoch x ist wieder e hoch x, und die Ableitung von minus x ist minus eins.
Jetzt mu00fcssen wir pru00fcfen, welchen Wert diese Ableitung fu00fcr negative x-Werte annimmt.
Betrachten wir die Bedingung x ist kleiner als null. Wir wissen, dass die E-Funktion fu00fcr positive Exponenten gru00f6dfu00fcr eins ist und fu00fcr negative Exponenten kleiner als eins.
Ableitung analysieren
Fu00fcr $x < 0$ gilt:
Da die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, gilt: Wenn x kleiner als null ist, dann ist e hoch x kleiner als e hoch null.
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