Üçüncü Dereceden Polinom ve Limit Sorusu

Merhaba Viyan, seninle AYT sınavında karşına çıkabilecek bu harika limit ve polinom sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Soruda başkatsayısı bir olan, üçüncü dereceden ve sadece bir tane gerçel kökü olan bir polinom tanımlanmış. İlk olarak bize verilen limit değerini inceleyelim.

Limit değerinde x yerine üç yazdığımızda payda sıfır oluyor. Limit sonucunun sekiz gibi bir gerçel sayı çıkabilmesi için, payın da sıfır olması, yani sıfır bölü sıfır belirsizliği olması gerekir.

Bu durumda f üç eşittir sıfır olduğu için, üç sayısı f polinomunun bir köküdür. Dolayısıyla f x polinomunun içinde x eksi üç çarpanı bulunmalıdır.

Polinom üçüncü dereceden ve başkatsayısı bir olduğuna göre, f x polinomunu x eksi üç çarpı, başkatsayısı bir olan ikinci dereceden bir polinom şeklinde yazabiliriz.

Şimdi bu tanımladığımız polinomu limit ifadesinde yerine koyarak belirsizliği giderelim.

İkinci adımda, polinomu limitte yerine yazarak a ve be katsayıları arasındaki ilişkiyi bulalım.

Burada pay ve paydadaki x eksi üç terimlerini sadeleştirebiliriz.

Sadeleştirme yaptıktan sonra x yerine üç yazarak limiti hesaplayalım.

İçler dışlar çarpımı yaparsak dokuz artı üç a artı be ifadesi on altıya eşit olur.

Buradan be katsayısını yalnız bırakırsak, be eşittir yedi eksi üç a elde ederiz. Bu ilişkiyi ileride kullanacağız.

Şimdi polinomun sadece bir tane gerçel kökü olduğu bilgisini kullanalım.

Polinomun x eşittir üç şeklinde zaten bir gerçel kökü vardır. Sadece bir gerçel kök olabilmesi için, ikinci dereceden çarpanın gerçel kökü olmamalıdır.