Üçgenlerde Benzerlik ve Alan İlişkisi

Merhaba arkadaşlar! Bu soruda, eşit aralıklı paralel çizgiler üzerine çizilmiş bir üçgenin alanlarını inceleyeceğiz.

Defterdeki çizgiler eşit aralıklı olduğu için, tepedeki A noktasından aşağıya doğru her bir çizgi arası mesafeye h diyelim. Bu durumda oluşan küçük üçgenlerin benzerlik oranları sırasıyla bir, iki, üç, dört ve beş ile orantılı olacaktır.

Benzerlik oranı k ise, alanlar oranı k'nın karesidir. En üstteki siyah üçgenin alanına S diyelim. Bir sonraki seviyedeki toplam üçgen alanı iki h yüksekliğinde olduğu için benzerlik oranı ikidir, alanı ise dört S olur.

Bu mantıkla her bir satırdaki alanları hesaplayabiliriz. Birinci bölge S ise, ikinci bölge üç S, üçüncü bölge beş S, dördüncü bölge yedi S ve beşinci bölge dokuz S olacaktır.

Şimdi sorudaki bölgeleri tek tek inceleyelim. Şekilde A'dan aşağıya doğru baktığımızda; siyah bölge birinci seviyede, mavi bölge üçüncü seviyede ve kırmızı bölge beşinci seviyededir.

Soru bize mavi bölgenin alanını otuz dokuz olarak vermiş. Ancak dikkat edin, mavi bölge tek bir satırdan değil, ikinci ve üçüncü satırların birleşiminden oluşuyor gibi görünüyor. Çizgileri sayalım.

Görseli dikkatli incelersek mavi bölge üçüncü satırdadır. Yani beş S eşittir otuz dokuz. Ama bir saniye, çizgileri tekrar sayalım. A noktası ilk çizgide. Siyah üçgen birinci aralık. Sonra bir boş aralık var. Mavi bölge üçüncü aralıkta.

Hadi genel kuralı hatırlayalım: Alanlar tek sayılarla orantılı artar. S, üç S, beş S, yedi S, dokuz S.

Mavi yamuğun alanı otuz dokuz birimkare olarak verilmiş. Kırmızı yamuğun alanı ise yetmiş beş. Bu iki değer arasındaki farka bakalım.