Temperaturverlauf eines Felsens
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$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot t\right) + 14$, $t \in [0; 24]$.
Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die zugehörigen Temperaturen.
Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
Animierte Videolösung
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir eine Temperaturfunktion über einen Zeitraum von vierundzwanzig Stunden. Wir sollen die Uhrzeiten für die maximale und minimale Temperatur finden sowie die Zeitpunkte, an denen sich die Temperatur am schnellsten ändert.
Temperaturverlauf eines Felses
Zuerst notieren wir die gegebenen Parameter: t ist die Zeit in Stunden, wobei t gleich null fünf Uhr morgens entspricht. Das Intervall für t liegt zwischen null und vierundzwanzig.
Gegeben: $t=0 \equiv 05:00$ Uhr, $t \in [0; 24]$
Bestimmen wir zuerst die Extremwerte. Eine Kosinusfunktion schwankt zwischen plus eins und minus eins. Schauen wir uns die Funktion an.
Teil 1: Extremwerte
Der Fels ist am kältesten, wenn der Term mit dem Kosinus seinen maximalen Wert annimmt, da wir einen negativen Koeffizienten haben. Das ist bei t gleich null der Fall.
Bei t gleich null ist es also sieben Grad warm. Da t gleich null fünf Uhr morgens ist, ist dies die Uhrzeit für die minimale Temperatur.
Am wärmsten ist es, wenn der Kosinus den Wert minus eins annimmt. Das passiert nach zwölf Stunden, also bei t gleich zwölf.
Zwölf Stunden nach fünf Uhr morgens ist es siebzehn Uhr. Die maximale Temperatur beträgt einundzwanzig Grad.
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