Sonsuz Dikdörtgen Alanları Toplamı
Yayınlanma:
9. Aşağıda bir köşeleri $y = a^{-x}$ eğrisi üzerinde olan sonsuz adetteki dikdörtgen gösterilmiştir. Bu dikdörtgenler soldan sağa doğru sırayla yeşil, sarı, mavi, yeşil, sarı, mavi, ... biçiminde renklendiriliyor.
Soldan 3. sarı dikdörtgenin alanı $\frac{1}{256}$ olduğuna göre, soldan sağa doğru ilk 10 dikdörtgenin alanları toplamı kaç birim kare olur?
A) $2^{10} - 1$
B) $2^{6} - 1$
C) $1 - 2^{-10}$
D) $1 - 2^{-12}$
E) $1 - 2^{-15}$
Soruda görsel içerik var: A coordinate plane showing a decreasing curve $y=a^{-x}$ starting from $(0,1)$. Below the curve, there are adjacent rectangles with unit width 1. The first rectangle (green) has height $a^{-1}$, the second (yellow) has height $a^{-2}$, the third (blue) has height $a^{-3}$, and so on. The coloring cycle is green, yellow, blue, repeating. The x-axis shows integer markers 0, 1, 2, 3.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba FURKAN, gel bu üstel fonksiyon ve dikdörtgen alanları sorusuna birlikte bakalım.
Dikdörtgenlerin Alanları ve Üstel Fonksiyon
Soruda dikdörtgenlerin bir köşesinin ye eşittir a üzeri eksi iks eğrisi üzerinde olduğu söylenmiş. Dikdörtgenlerin taban uzunlukları sıfır ile bir, bir ile iki, iki ile üç şeklinde gidiyor, yani her birinin taban genişliği bir birimdir.
Birinci dikdörtgenin yüksekliği, tepe noktasının iks eşittir bir değerindeki görüntüsüdür. Bu durumda ilk alan a üzeri eksi bir çarpı birden a üzeri eksi bir olur.
İkinci dikdörtgenin yüksekliği iks eşittir iki değeri için a üzeri eksi ikidir. Üçüncü için a üzeri eksi üçtür. Genel olarak eninci alan a üzeri eksi en olur.
Dikdörtgenler yeşil, sarı, mavi şeklinde periyodik olarak boyanıyor. Her renk üçte bir kendini tekrar eder. Sarıların sırası iki, beş, sekiz şeklinde gider.
Renk Periyodu
| Sıra | Renk |
|---|---|
| 1 | Yeşil |
| 2 | Sarı |
| 3 | Mavi |
| 4 | Yeşil |
| 5 | Sarı |
Soldan üçüncü sarı dikdörtgeni bulalım. Birinci sarı ikinci, ikinci sarı beşinci, üçüncü sarı ise sekizinci dikdörtgendir.
Bu alanın bir bölü iki yüz elli altı olduğu verilmiş. İki yüz elli altı, iki üzeri sekizdir. Dolayısıyla a üzeri eksi sekiz, iki üzeri eksi sekize eşittir.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
