Schnittpunkte von Exponentialfunktionen
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1.2 Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x) = e^{4x}$ und $g(x) = 3e^{2x}, x \in \mathbb{R}$.
Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder der Funktionen $f$ und $g$ genau einmal schneiden. (3 Punkte)
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir zeigen, dass sich die Schaubilder der Funktionen f und g genau einmal schneiden. Gegeben sind f von x gleich e hoch vier x und g von x gleich drei mal e hoch zwei x.
Schnittpunktbestimmung von f und g
Um die Schnittpunkte zu finden, setzen wir die Funktionsterme gleich.
Wir ersetzen f und g durch ihre Terme: e hoch vier x gleich drei mal e hoch zwei x.
Da die Exponentialfunktion e hoch zwei x für alle x größer als null ist, können wir beide Seiten der Gleichung gefahrlos durch e hoch zwei x dividieren.
Unter Anwendung der Potenzgesetze subtrahieren wir im Exponenten: vier x minus zwei x ergibt zwei x. Die Gleichung vereinfacht sich zu e hoch zwei x gleich drei.
Um nach x aufzulösen, wenden wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten an.
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