Sayı Sistemleri ve İspatlar

Merhaba. Bu videomuzda dördüncü soruyu, yani tam sayılar kümesinin inşasını ve eksi sayılara neden ihtiyaç duyduğumuzu adım adım inceleyeceğiz.

Matematikte ilk olarak doğal sayılar kümesiyle tanışırız. Doğal sayılar kümesi, sıfırdan sonsuza giden tam ve pozitif sayılardır.

Bu kümede yapılan toplama ve çarpma işlemleri her zaman yine bir doğal sayı verir. Fakat, her basit denklem için aynı durumu söyleyemeyiz.

Örneğin, soruda bizden istenen iks artı dört eşittir bir denklemini ele alalım.

Doğal sayılar kümesinde dörde bir sayı eklediğimizde sonucun bir olma ihtimali yoktur, çünkü toplam her zaman dörtten büyük veya dörde eşit çıkar.

İşte bu denklemleri çözebilmek ve çıkarma işleminin her zaman yapılabilmesini sağlamak için tam sayılar kümesine ihtiyaç duyulmuştur. Peki bu sayı sistemini nasıl oluştururuz?

Tam sayıları, doğal sayıların kendi içindeki kartezyen çarpımı üzerinden sıralı ikililer biçiminde tanımlarız.

Bu ikililer arasında bir denklik bağıntısı kurarız. A virgül b ile c virgül d ikilisi birbirine denktir, ancak ve ancak a artı d toplamı, b artı c toplamına eşit ise.

Bu tanımı eksi işaretini hiç kullanmadan, sadece doğal sayılardaki toplama işlemini kullanarak yapıyoruz. A virgül b ikilisi aslında a eksi b sayısını temsil eder.

Tam sayılar kümesi olarak bildiğimiz z kümesi de, bu tarz sayısız denklik sınıflarından oluşur.

Bu yeni sistemde işlemleri de tanımlamamız gerekir. Toplama işlemi için, iki denklik sınıfının kendi bileşenlerini karşılıklı olarak toplarız.

Ayrıca var olan doğal sayıları, bu yeni kümeye dönüştürmemiz gerekir. Herhangi bir n doğal sayısını, n virgül sıfır denklik sınıfı ile eşleştiririz.