Q(x) polinomu ve integral ilişkisi

Merhaba Lirant, bu soruyu adım adım birlikte çözelim. Elimizde Q x polinomunu içeren bir integral eşitliği var.

Eşitlikteki integralden kurtulmak için, denklemin her iki tarafının x'e göre türevini alabiliriz. Bu çok sık kullandığımız bir yöntemdir.

Önce sol tarafın türevini alalım. İntegralin türevi, içerideki fonksiyonun ta kendisine eşittir. Q x'in türevi ise Q üssü x olur.

Şimdi sağ tarafın türevini alalım. Üç x karenin türevi altı x, beş x'in türevi beştir. Eksi bir sabittir ve türevi sıfırdır.

Elde ettiğimiz bu yeni denklemin sağ tarafına bakarsak, birinci dereceden bir polinom olduğunu görürüz. Sol tarafta ise Q x ile türevinin toplamı var.

Bir polinom ile bir derece eksiği olan türevinin toplamı birinci dereceden ise, fonksiyonun kendisi de birinci dereceden bir polinom olmalıdır.

A x artı b şeklindeki polinomun türevi olan Q üssü x, sadece değişkenin katsayısı olan a değerine eşittir.

Bir önceki adımda bulduğumuz türevli denklemi tekrar yazalım.

Burada Q x yerine a x artı b, Q üssü x yerine de a yazarak yerlerine yerleştirelim.

Sol tarafı toparlarsak; x'in katsayısı a, sabit terim kısmı ise a artı b şeklinde gruplanmış olur.

Polinomların eşitliği ilkesi gereği, her iki taraftaki aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır. Buradan a sayısının altı olduğunu görüyoruz.

Aynı mantıkla sol taraftaki sabit terim olan a artı b, sağ taraftaki beşe eşit olmalıdır.