Problème 2 : Étude des suites récurrentes
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PROBLEME 2: L'objet du problème est de trouver les termes premiers d'une suite récurrente.
PARTIE A: Soit U l'ensemble des suites réelles U définies par : $U_{n+2} = U_{n+1} + U_n, n > 0$.
A.1 Prouver que si U et V sont des 2 suites de U, alors la suite $(a U_n + b V_n) \in U$ pour tous réels $a$ et $b$.
A.2 Montrer que tout élément de U est défini par la donnée des réels $U_0$ et $U_1$.
A.3 On suppose que les suites V et W sont des suites de U non proportionnelles. Soit $(U_n)$ une suite de U.
A.3.1 Prouver que : $\exists! (a, b) \in \mathbb{R} : \begin{cases} aV_0 + bW_0 = U_0 \\ aV_1 + bW_1 = U_1 \end{cases}$
A.3.2 En déduire que l'ensemble U est l'ensemble des suites $(aV_n + bW_n)$.
A.4 Déterminer $r$ de façon qu'il soit la raison d'une suite géométrique de premier terme 1 appartenant à U.
A.5 Montrer que les deux suites géométriques obtenues en a) ne sont pas proportionnelles.
PARTIE B: Soit U la suite définie par $U_{n+2} = U_{n+1} + U_n + 1$, avec $U_1 = 1$ et $U_2 = 2$.
B.1 Montrer que U est une suite positive et croissante.
B.2 On définit la suite V par $V_n = U_n + 1$ pour tout $n > 0$. Donner l'expression précise de $V_n$ en fonction de $n$.
B.3 Démontrer que : $(R_1): V_{2n}^2 = V_{2n-1}V_{2n+1} - 1$ et $(R_2): V_{2n+1}^2 = V_{2n}V_{2n+2} + 1$.
B.4 Déduire de la question B.3 la relation $(R_3): (U_{2n+1} - U_{2n-1})^2 = U_{2n-1} \times U_{2n+1} + U_{2n-1} + U_{2n+1}$
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Salut Aicha, regardons ensemble ce problème de suite récurrente. Nous devons montrer que la suite U est à la fois positive et croissante.
Partie B, Question B.1
Commençons d'abord par prouver que la suite est strictement positive. Nous allons le faire à l'aide d'un raisonnement par récurrence double.
1) U est une suite positive
Vérifions l'initialisation pour n égal à un. On a U indice un qui vaut un, et U indice deux qui vaut deux, donnés dans l'énoncé.
Puisque un et deux sont tous les deux strictement supérieurs à zéro, notre propriété initiale est bien vraie.
Pour l'hérédité, fixons un entier n supérieur ou égal à un et supposons que la propriété est vraie au rang n.
Supposons $P(n)$ vraie pour un $n \ge 1$.
Nous devons montrer qu'au rang n plus un, la propriété reste vraie. On s'intéresse donc à la valeur de U indice n plus deux.
D'après notre hypothèse de récurrence, les termes U indice n et U indice n plus un sont strictement positifs.
La somme de deux nombres strictement positifs augmentée de un, donne évidemment une valeur strictement positive. L'hérédité est validée.
Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n. Notre suite U est donc positive.
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