Nullstellenberechnung und Flächenberechnung von Funktionen
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Aufgabe 1 (Variante 2)
(30 Punkte)
1.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion $g$ mit $g(x) = x^3 + x^2 - 3x, x \in \mathbb{R}$. Begründen Sie, warum das Schaubild nicht zu $g$ gehören kann.
(5 Punkte)
1.2 Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (x-1)(x+2), x \in \mathbb{R}$.
Skizzieren Sie das Schaubild und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die das Schaubild im 4. Quadranten mit den Koordinatenachsen bildet. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen einer Funktion dritten Grades. Die x-Achse ist von -3 bis 2 skaliert, die y-Achse von -1 bis 2. Der Graph hat Nullstellen bei x = -2, x = 0 und x = 1. Er steigt von links unten kommend an, hat einen Hochpunkt bei ca. x = -1.2, fällt dann durch den Ursprung zu einem Tiefpunkt bei ca. x = 0.6 und steigt dann steil an, wobei er die x-Achse bei x = 1 schneidet.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion g von x gleich x hoch drei plus x quadrat minus drei x. Wir sollen die Nullstellen berechnen und erklären, warum der gezeigte Graph nicht zu dieser Funktion passt.
Aufgabe 1.1: Nullstellen bestimmen
Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktionsgleichung gleich Null.
Da in jedem Term ein x enthalten ist, können wir x ausklammern.
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder x gleich Null, oder der Term in der Klammer ist Null.
Für die quadratische Gleichung nutzen wir die p-q-Formel mit p gleich eins und q gleich minus drei.
Unter der Wurzel erhalten wir ein Viertel plus drei, was dreizehn Viertel ergibt.
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