Mutlak Değerli Türevlenebilirlik Sorusu

Merhaba Fatma, haydi paraboller ve mutlak değer türevlenebilirliği ile ilgili bu AYT sorusuna birlikte bakalım.

Soruda g x fonksiyonunun ikinci dereceden yani bir parabol olduğu belirtilmiş. f x ise bu parabolün mutlak değeri olarak tanımlanmış. Bizden hangi ifadelerin daima doğru olduğunu bulmamız isteniyor.

Bir mutlak değer fonksiyonunun türevsiz olabileceği noktalar, fonksiyonun içini sıfır yapan tek katlı köklerdir. İkinci dereceden bir fonksiyonun delta durumuna göre kök yapısını inceleyelim.

İkinci durumda, deltanın sıfıra eşit olduğu yani çift katlı bir kök olduğu durumu düşünelim. Bu durumda grafik eksene teğettir ve f x her yerde türevlidir.

Üçüncü durumda ise delta sıfırdan büyüktür ve iki farklı reel kök vardır. Bu noktalarda grafik ekseni keser ve mutlak değer alındığında sivri uçlar oluşur. Yani iki noktada türev yoktur.

Şimdi birinci öncülü inceleyelim. Türevsiz olduğu sadece bir tane x değeri vardır diyor. Gördüğümüz gibi türevsizlik ya hiç yoktur ya da iki tanedir. Tek bir türevsiz nokta ikinci dereceden bir fonksiyon için mümkün değildir. Bu yüzden birinci öncül yanlıştır.