Minimum Yol Maliyeti Problemi

Merhaba! Bir maksimum minimum problemi olan bu klasik optimizasyon sorusunu adım adım çözelim.

Öncelikle köyler arasındaki mesafeleri bir krokide gösterelim. A, B ve C köylerini koordinat düzlemindeymiş gibi çizelim.

Soruya göre B köyü A'nın 40 kilometre doğusunda, C köyü ise B'nin 20 kilometre kuzeyindedir.

A'dan C'ye maliyeti en aza indiren en ideal asfalt yolu bulmak için, A'dan yola çıkıp mevcut yol üzerindeki bir P noktasına kadar gelmeli, oradan da dümdüz C köyüne yeni bir yol açmalıyız.

Yapılacak yolu x cinsinden ifade eden bir maliyet fonksiyonu oluşturalım. Rakamların kalabalık olmaması için işlemleri bin lira cinsinden yapacağız.

A'dan P'ye kadar olan x kilometrelik kısım mevcut stabilize yoldur ve kilometresi 30 bin liraya asfaltlanmaktadır.

P'den C'ye inşa edilecek yeni yolun uzunluğunu ise dik üçgenden Pisagor bağıntısıyla hesaplıyoruz. Bu uzunluk kök içinde kırk eksi x'in karesi artı yirminin karesidir.

Yeni yolun bir kilometresi 50 bin liraya mal olduğu için, bu mesafeyi 50 ile çarpıp fonsiyonumuza ekliyoruz.

Maliyetin en az olmasını istediğimiz için, bu fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitleyeceğiz.

Otuz x'in türevi otuzdur. Köklü ifadenin türevini alırken ise zincir kuralını uyguluyoruz; içinin türevi bölü iki çarpı ifadenin kendisi.

Elde ettiğimiz bu türev ifadesini düzenleyerek sıfıra eşitleyelim.

Eksili terimi denklemin karşı tarafına atarsak eşitliği daha rahat çözebiliriz.

Her iki tarafı 10'a bölüp sadeleştirelim ve içler dışlar çarpımı yapalım.

Şimdi bu eşitlikten x'in kaç olduğunu bulalım. Karekökten kurtulmak için eşitliğin iki tarafının da karesini alıyoruz.