Maliyet Minimizasyonu ve Optimizasyon Problemi
Yayınlanma:
B köyü A köyünün $20 \text{ km}$ kuzeyindedir. A ile B arasında stabilize yol mevcuttur. A ile C arası ise $10 \text{ km}$'dir. C köyü de A köyünün doğusundadır. A ile B arasındaki stabilize yolun asfaltlanması $30.000 \text{ TL}$'ye, $1 \text{ km}$ yeni yolun açılıp asfaltlanması $60.000 \text{ TL}$'ye mal olmaktadır. A ile C arasında asfalt yol en az kaç TL'ye mal olur?
Soruda görsel içerik var: A hand-drawn right-angled triangle representing locations. Point B is at the top left vertex, point A is below point B at the right-angle vertex, and point C is to the right of A. The distance between B and A is labeled '20'. The segment AB represents a vertical line, and AC represents a horizontal line. There is a point labeled 'x' on segment AB, making the distance from that point to A equal to 'x', and the distance from B to that point '20-x'. A line connects point C to this point 'x' on the segment AB forming the hypotenuse of a right-angled triangle with base AC.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba! Bu optimizasyon probleminde, köyler arasına yapılacak bir asfalt yolun en düşük maliyetini hesaplayacağız. Gelin önce problemi adım adım analiz edelim.
Yol Maliyeti Optimizasyonu
Önce köylerin konumlarını bir koordinat düzlemi gibi çizelim. A köyünü çıkış noktası kabul edersek, B köyü onun 40 kilometre doğusunda, C köyü ise B'nin 20 kilometre kuzeyindedir. A ile B, B ile C arasında kaba yollar mevcuttur.
Geometrik Model
Amacımız A'dan C'ye en az maliyetli yolu yapmak. Bunun için A'dan başlayıp B'ye giden yolun bir kısmını kullanıp, P gibi bir noktadan C'ye dümdüz yeni bir yol açabiliriz. P noktasının B'ye olan uzaklığına x diyelim. Bu durumda yenileyeceğimiz A-P yolu kırk eksi x kilometre olur. Ayrıca açılacak yeni P-C yolu dik üçgen sayesinde hesaplanabilir.
Hadi maliyet fonksiyonumuzu yazalım. Sayıları daha kolay yönetmek için işlemleri bin Lira cinsinden yapacağız.
Maliyet Fonksiyonu
Mevcut yolda yapacağımız asfaltlamanın kilometresi otuz bin Lira, uzunluğu ise kırk eksi x. Yeni açılacak yolun kilometresi altmış bin Lira, uzunluğu ise Pisagor'dan bulduğumuz kök içinde x kare artı dörtyüz.
Maliyetin en az olmasını istiyoruz. Bir fonksiyonun alabileceği en küçük değeri bulmak için onun türevini alır ve sıfıra eşitleriz.
Türev ve Çözüm
İkileri sadeleştirip eksi otuz ifadesini karşıya atalım.
Eşitliğin her iki tarafını otuza bölelim.
Köklü ifadeyi çapraz çarpımla diğer tarafa geçirelim.
Kökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alıyoruz.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
