Logaritmik Eşitsizlik Sorusu

Merhaba arkadaşlar, bu güzel logaritma sorusunu birlikte adım adım çözelim. Sorumuzda k'nın bir gerçel sayı olduğu ve verilen eşitsizliği sağlayan tam sayı olan tek bir x değeri olduğu söyleniyor.

Öncelikle verilen eşitsizliği yazalım. Bir küçüktür logaritma iki tabanında, x artı bir bölü x eksi bir, o da küçüktür k.

Logaritmayı kaldırmak için tüm tarafları iki tabanında üs olarak yazalım. Logaritma tabanı ikinin birden büyük olması nedeniyle eşitsizlik yön değiştirmeyecektir.

Buradan karşımıza iki farklı eşitsizlik çıkıyor. İlk olarak sol tarafı, yani iki küçüktür x artı bir bölü x eksi bir kısmını inceleyelim.

Paydayı eşitlemek için iki yanını da x eksi bir ile çarpmayı düşünebiliriz. Ancak x eksi birin pozitif olduğundan emin olmalıyız. Logaritmanın içi pozitif olmalı, yani x artı bir bölü x eksi bir sıfırdan büyük olmalı. Ayrıca ifademiz ikiden büyük olduğu için bu koşul kendiliğinden sağlanır. x eksi bir pozitif olmalıdır, aksi takdirde iki negatiften küçük olamazdı.

Parantezi dağıtırsak iki x eksi iki küçüktür x artı bir elde ederiz.

Buradan x'i sol tarafa, eksi ikiyi sağ tarafa atarsak, x küçüktür üç sonucuna ulaşırız.

Şimdi x'in alabileceği değerler için x küçüktür üç bulduk. Ayrıca x eksi birin pozitif olması gerektiğini söylemiştik, yani x birden büyüktür.

Bu aralıkta yalnızca bir tane tam sayı değeri olduğu söylenmiş. Bir ile üç arasındaki tek tam sayı x eşittir ikidir.

Demek ki x eşittir iki değeri eşitsizliği sağlamalı, ancak bir sonraki tam sayı olan x eşittir üç sağlamamalıdır.

Şimdi eşitsizliğin sağ tarafını hatırlayalım. x artı bir bölü x eksi bir küçüktür iki üzeri k demiştik.