Logaritmik Denklemler ve Değişkenler

Merhaba arkadaşlar. Bu soruda b'nin alabileceği değerler çarpımı soruluyor. Üç tane logaritmik denklemimiz var. İşlemleri kolaylaştırmak için değişken değişimi yaparak başlayalım.

Logaritma 5 tabanında a'ya x, b'ye y, c'ye z diyelim. Böylece karmaşık logaritma ifadeleri yerine basit birer harf kullanacağız.

İlk denklemi ele alalım. Çarpım durumundaki logaritmayı toplama çevirelim.

250 sayısını, 2 çarpı 125, yani 2 çarpı 5'in küpü olarak ayıralım.

Burası 3 artı log 5 tabanında 2 olur. Denklemimizi x ve y cinsinden düzenlersek şöyle bir eşitlik elde ederiz.

1 eksi log 5 tabanında 2 ifadesini, bölme kuralını tersine işleterek log 5 tabanında 5 bölü 2 olarak sadeleştirebiliriz.

Şimdi ikinci denkleme aynısını yapalım. Log 5 tabanında 2bc ifadesini açıyoruz.

Değişkenlerimizi yerine koyup düzenleyelim.

Log 5 tabanında 2'yi karşıya atarsak, bir önceki denklemle aynı sağ tarafı buluruz.

Bunu da log 5 tabanında 5 bölü 2 olarak yazalım.

Elde ettiğimiz iki denklemin sağ tarafları eşit. O halde sol tarafları da birbirine eşittir.

Her iki tarafta y var, bunları sadeleştirelim. Kalan terimleri bir araya toplayalım.

İfadeyi çarpanlarına ayırırsak çok kritik bir sonuç buluruz.

Bu eşitliğin sağlanması için ya x z'ye eşit olmalı ya da y 1 olmalı.

Önce y eşittir 1 durumunu kontrol edelim. İlk denkleme koyarsak tutarsızlık olduğunu görürüz.