Logaritma ve Ortak Tam Sayı Değerleri

MathematicsLogarithmsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

5. $a > 0$, $a \neq 1$ ve $n \leq 125$ olmak üzere, Ahmet, Ceren ve Ceyda aşağıdaki tabloda kendilerine verilen logaritma değerlerini her $n$ pozitif tam sayısı için hesaplıyor.

Tablo:

Ahmet: $\log_{3}n$

Ceren: $\log_{2}n$

Ceyda: $\log_{a}n$

Sonuç tam sayı çıkıyorsa çıkan bu sayıyı önlerindeki kağıtlara yazıyorlar.

Üç kağıtta da ortak olan 3 tane sayı olduğuna göre, $a$ değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) 14

Soruda görsel içerik var: Soru içerisinde üç sütunlu bir tablo bulunmaktadır. Sütun başlıkları 'Ahmet', 'Ceren' ve 'Ceyda'dır. Ahmet için log_3 n, Ceren için log_2 n ve Ceyda için log_a n ifadeleri tablo hücresinde yer almaktadır. Ayrıca öğrenci tarafından karalanmış el yazısı notlar (3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, n=1, 2, 3, 4, a^2 <= 125, a^3 > 125) mevcuttur.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba zeynep, bu logaritma sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Logaritma ve Küme Problemine Giriş

Ahmet, Ceren ve Ceyda'nın hesapladığı logaritma değerlerinin tam sayı sonuçlarını bulalım.

Burada $n$ bir pozitif tam sayıdır ve $n \le 125$ şartı verilmiştir.

2
Adım 2

İlk olarak Ahmet'in bulduğu değerleri inceleyelim. Ahmet, logaritma üç tabanında n değerlerini hesaplıyor.

Ahmet'in Sayıları

Ahmet'in hesapladığı ifade: $\log_3 n$

Sonucun bir tam sayı çıkması için, $n$ sayısının $3$'ün bir tam sayı kuvveti olması gerekir.

$$\log_3 n = k \implies n = 3^k$$
3
Adım 3

n sayısı birden büyük veya eşit ve yüz yirmi beşten küçük veya eşit olduğuna göre, k sayısının alabileceği değerleri bulalım.

Burada $1 \le n \le 125$ aralığında $3$'ün kuvvetlerini arıyoruz:

4
Adım 4

Kı kuvvetlerini yazalım. K sıfır için n bir, k bir için n üç, k iki için n dokuz, k üç için n yirmi yedi ve k dört için n seksen bir olur. K beş için üç üssü beş iki yüz kırk üç olur ki bu sınırımızı aşar.

$$\begin{aligned} k = 0 &\implies n = 3^0 = 1 \\ k = 1 &\implies n = 3^1 = 3 \\ k = 2 &\implies n = 3^2 = 9 \\ k = 3 &\implies n = 3^3 = 27 \\ k = 4 &\implies n = 3^4 = 81 \end{aligned}$$
5
Adım 5

Böylece Ahmet'in kağıdına yazabileceği tam sayı değerlerinin kümesini sıfır, bir, iki, üç, dört olarak buluruz.

$$A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$$
6
Adım 6

Şimdi Ceren'in durumuna bakalım. Ceren ise logaritma iki tabanında n değerlerini hesaplıyor.

Ceren'in Sayıları

Ceren'in hesapladığı ifade: $\log_2 n$

Sonucun tam sayı çıkması için, $n$ sayısının $2$'nin kuvveti olması gerekir.

$$\log_2 n = m \implies n = 2^m$$
7
Adım 7

Yine n sayısının bir ile yüz yirmi beş arasında olduğunu biliyoruz.

Burada $1 \le n \le 125$ aralığında $2$'nin kuvvetlerini bulalım:

8
Adım 8

İkinin kuvvetlerini sırayla yazarsak; sıfırıncı kuvvetten başlayarak altıncı kuvvete kadar olan tüm sayılar bu aralıktadır. Yedinci kuvvet olan yüz yirmi sekiz sınırı geçer.

$$\begin{aligned} m = 0 &\implies n = 1 \\ m = 1 &\implies n = 2 \\ m = 2 &\implies n = 4 \\ m = 3 &\implies n = 8 \\ m = 4 &\implies n = 16 \\ m = 5 &\implies n = 32 \\ m = 6 &\implies n = 64 \end{aligned}$$
9
Adım 9

Buna göre Ceren'in kağıdına yazabileceği tam sayıların kümesi sıfır, bir, iki, üç, dör, beş, altı olur.

$$C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
10
Adım 10

Şimdi bu iki kümenin kesişimini alalım. Çünkü ortak olan sayıların her üç kağıtta da bulunması gerekiyor.

Kesişim Kümesi Analizi

Ahmet ve Ceren'in kümelerini yazalım:

$$A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$$
$$C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Logarithms
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Evaluate Logarithmic Series Logarithms · Orta Logaritma İşlemi Logarithms · Kolay Logaritma Denklemi Çözümü Logarithms · Kolay Logaritma ve Faktöriyel Sorusu Logarithms · Orta Logaritmalı Denklem Çözümü Logarithms · Orta Karbon-14 ile Fosil Yaşı Hesaplama Logarithms · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir