Kuvvetli Küme Sayısı Hesaplama

Merhaba Berfin, bu videoda seninle birlikte harika bir küme sorusu çözeceğiz. Öncelikle soruda verilen kuvvetli küme tanımını anlamaya çalışalım.

Tanıma göre, en az iki elemanlı bir kümenin tüm elemanları aynı asal sayının doğal sayı kuvvetleri olmalıdır. Doğal sayı kuvveti dendiğinde, sıfırıncı kuvvetin de dahil olduğunu ve her asal sayının sıfırıncı kuvvetinin bir olduğunu unutmamalıyız.

Örnekteki A kümesini inceleyelim. İki, dört, sekiz ve on altı elemanlarından oluşuyor. Bu elemanların hepsi ikinin kuvvetleridir. İki üzeri bir, iki üzeri iki, iki üzeri üç ve iki üzeri dört şeklinde yazılabilirler. Dolayısıyla bu küme bir kuvvetli kümedir.

Şimdi bize verilen B kümesine odaklanalım. Kümemiz sıfırdan dokuza kadar olan rakamlardan oluşmaktadır.

B kümesinin elemanlarından hangileri bir asal sayının doğal sayı kuvveti olabilir? Tek tek inceleyelim.

Gördüğümüz gibi sıfır sayısı hiçbir asal sayının kuvveti olamaz. Altı sayısı ise iki çarpı üç olduğundan tek bir asal sayının kuvveti değildir. Diğer elemanları asal tabanlarına göre gruplayalım.

Asal tabanlarına göre oluşturabileceğimiz maksimum kümeleri yazalım. İkinin kuvvetleri için bir, iki, dört ve sekiz elemanlarını kullanabiliriz. Üçün kuvvetleri için bir, üç ve dokuz; beşin kuvvetleri için bir ve beş; yedinin kuvvetleri için ise bir ve yedi elemanları vardır.

Şimdi tabanı iki olan kuvvetli alt kümeleri hesaplayalım. Bu kümeler, elemanları bir, iki, dört ve sekiz olan kümenin en az iki elemanlı alt kümeleri olmalıdır.

Dört elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı iki üzeri dörtten on altıdır.

Ancak tanım gereği kuvvetli kümelerin en az iki elemanlı olması gerekir. Bu yüzden boş kümeyi ve tek elemanlı alt kümeleri çıkarmalıyız.

On altıdan bu beş alt kümeyi çıkardığımızda, tabanı iki olan on bir tane kuvvetli alt küme elde ederiz.