Küme İşlemleri ve Kartezyen Çarpım Sorusu

Merhaba Zeynep, bu küme sorusunu adım adım birlikte çözelim. Öncelikle soruda verilen temel bilgileri inceleyelim.

Boş kümeden farklı a, b ve c kümeleri verilmiş. Ayrıca a ve b kümelerinin her ikisi de c kümesinin alt kümesiymiş ve kesişimleri boş kümeymiş.

Bu ilişkileri daha rahat görebilmek için küme şemamızı çizelim. C kümesinin içerisinde birbirleriyle kesişmeyen a ve b kümeleri var.

Şimdi ilk kartezyen çarpım denklemini ele alalım. A fark B ile A birleşim B nin kartezyen çarpımının eleman sayısı yedi olarak verilmiş.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Bu yüzden bu ifadeyi çarpım şeklinde yazabiliriz.

A ve B ayrık kümeler olduğu için, A fark B kümesi doğrudan A kümesine eşittir. Yani eleman sayısı s a olur.

Benzer şekilde, ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, eleman sayılarının toplamıdır. Yani s a artı s b dir.

İşlemleri kolaylaştırmak için s a ya küçük a, s b ye ise küçük b diyelim. Bu durumda denklemimiz a çarpı, parantez içinde a arti b eşittir yedi olur.

Kümeler boş kümeden farklı olduğuna göre, a ve b pozitif tam sayılardır. Yedi asal bir sayı olduğundan, çarpanları yalnızca bir ve yedi olabilir.

Buradan a sayısı bir, a arti b toplamı ise yedi olmalıdır. Bu durumda a'yı bir, b'yi ise altı olarak buluruz.

Harika! Şimdi ikinci denklemimizi çözmek için yeni bir sayfaya geçelim ve s a ile s b değerlerini aklımızda tutalım.

Yine kartezyen çarpımın eleman sayısı özelliğini kullanarak bu ifadeyi çarpım biçiminde yazalım.