Kurvendiskussion und Flächeninhaltsberechnung

In diesem Video lösen wir die Aufgabe 4.5. Wir berechnen den Flächeninhalt, der von der gegebenen Parabel und der Kurve von g eingeschlossen wird.

Das vorgegebene Intervall für die Fläche ist von null bis pi.

Um die Fläche zwischen zwei Kurven zu berechnen, stellen wir zunächst die Differenzfunktion d von x auf.

Wir setzen die beiden gegebenen Funktionsterme aus der Aufgabenstellung in unsere Gleichung ein.

Beachten Sie das Minuszeichen vor der Klammer. Minus mal Minus ergibt natürlich Plus, wenn wir die Klammer auflösen.

Die Konstanten minus zwei und plus zwei heben sich glücklicherweise direkt auf. Damit wird unsere Funktion deutlich übersichtlicher.

Bevor wir blind integrieren, müssen wir überprüfen, ob sich die Kurven im Intervall schneiden. Wir untersuchen das Vorzeichen der Differenzfunktion.

Betrachten wir zunächst den algebraischen Teil der Funktion. Hier können wir x ausklammern.

Für x-Werte zwischen null und pi sind beide Terme nicht negativ. Somit ist auch ihr Produkt immer größer oder gleich null.

Nun zum trigonometrischen Teil: Die Sinusfunktion schwingt zwar, hat aber im Intervall von null bis pi ausschließlich nicht-negative Werte.

Da beide Summanden der Differenzfunktion größer oder gleich null sind, ist auch die gesamte Funktion d von x im Intervall nicht-negativ.

Das bedeutet anschaulich gelb, dass die Parabel im gesamten Intervall oberhalb von g verläuft. Wir benötigen also keine Betragsstriche für das Integral.

Stellen wir nun das Integral für den Flächeninhalt auf. Wir integrieren d von x über die Grenzen null bis pi.