Kurvendiskussion und Extremwertaufgabe
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Aufgabe 4
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit
$f(x) = \frac{1}{5}x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{2}x$, $x \in \mathbb{R}$
und ihr Schaubild $K_f$.
4.1 Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Punkt $P(0|f(0))$.
Im Punkt $B$ auf $K_f$ besitzt die Tangente dieselbe Steigung wie in $P$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $B$. (7 Punkte)
4.2 Die Gerade $x = u$ schneidet $K_f$ für $-5 \le u \le 0$ im Punkt $Q$ und die x-Achse im Punkt $R$. Der Koordinatenursprung $O$ bildet mit den Punkten $Q$ und $R$ ein Dreieck.
Zeichnen Sie in das obige Schaubild das Dreieck $OQR$ für $u = -4$ ein.
Berechnen Sie, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. (8 Punkte)
4.3 Begründen Sie, dass das Schaubild jeder Stammfunktion von $f$ an der Stelle $x = 0$ einen Hochpunkt hat.
Geben Sie die Stammfunktion an, deren Schaubild den Hochpunkt in $H(0|-3)$ hat. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt ein Koordinatensystem mit dem Graphen $K_f$ einer kubischen Funktion. Die x-Achse reicht von etwa -6 bis 3, die y-Achse von -2 bis 7. Der Graph hat eine Nullstelle bei $x = 0$, ein lokales Maximum bei etwa $x ≈ -3$ mit einem Funktionswert von etwa 6 und ein lokales Minimum bei etwa $x ≈ 1$ mit einem Funktionswert von etwa -0.5. Das Gitter ist in Einer-Schritten markiert. Sichtbare Achsenbeschriftungen: $x, y, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$ auf der x-Achse und $-1$ bis $6$ auf der y-Achse.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Schauen wir uns zunächst die Aufgabe 4 Punkt 1 an. Wir sollen die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P berechnen.
Aufgabe 4.1: Tangente im Punkt P
Für die Steigung der Tangente benötigen wir die erste Ableitung der Funktion f. Wir leiten jeden Term einzeln ab.
Das können wir noch etwas vereinfachen, indem wir im mittleren Term den Bruch kürzen.
Da der Punkt P auf der y-Achse bei x gleich null liegt, berechnen wir nun den y-Wert an dieser Stelle und die Steigung f Strich von null.
Die Tangente hat also die Steigung minus drei Halbe und verläuft durch den Ursprung. Wir können die Gleichung direkt aufschreiben.
Im zweiten Teil von Aufgabe 4 Punkt 1 suchen wir einen Punkt B auf dem Graphen, an dem die Tangente dieselbe Steigung wie im Punkt P besitzt.
Aufgabe 4.1: Punkt B mit gleicher Steigung
Also setzen wir die erste Ableitung gleich minus drei Halbe.
Wir addieren auf beiden Seiten drei Halbe, wodurch der konstante Term wegfällt.
Nun klammern wir auf der linken Seite ein x aus.
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Die erste Lösung ist x gleich Null. Das ist unser bereits bekannter Punkt P.
Für den Punkt B setzen wir den Ausdruck in der Klammer gleich Null und lösen nach x auf. Das ergibt minus zwei Komma fünf.
Jetzt müssen wir nur noch den y-Wert berechnen, indem wir minus zwei Komma fünf in die ursprüngliche Funktion f einsetzen. Das ergibt etwa fünf Komma drei.
Kommen wir zur Aufgabe 4 Punkt 2. Für u gleich minus 4 sollen wir das von den Punkten Ursprung, Q und R gebildete Dreieck in ein Schaubild zeichnen.
Aufgabe 4.2: Dreieck OQR für u = -4
Wir sehen, dass das Dreieck rechtwinklig im Punkt R ist. Die Fläche berechnet sich aus ein Halb mal Grundseite mal Höhe.
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