Kurvendiskussion und Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 27$, $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild heißt $K_f$.
2.1 Zeigen Sie, dass $f$ bei $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ Nullstellen hat.
Untersuchen Sie $K_f$ auf Extrem- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-1,25 \le x \le 4$. (12 Punkte)
2.2 Prüfen Sie, ob die y-Achse den Inhalt der Fläche zwischen $K_f$ und der x-Achse im Verhältnis 1:2 teilt. (5 Punkte)
2.3 Von einem zur y-Achse symmetrischen Schaubild einer ganzrationalen Funktion vierten Grades kennt man einen Hochpunkt $H(2|9)$ und eine Nullstelle bei $x = -1$. Geben Sie ein lineares Gleichungssystem an, mit dessen Hilfe man einen passenden Funktionsterm bestimmen könnte. (4 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit einer ganzrationalen Funktion vierten Grades. Wir sollen ein lineares Gleichungssystem aufstellen, um ihre Funktionsgleichung zu bestimmen.
Aufgabe 2.3: Lineares Gleichungssystem aufstellen
Zuerst schauen wir uns die gegebenen Informationen an. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
1. Gegebenheiten analysieren
*- Grad 4*
*- Achsensymmetrisch zur y-Achse*
Wegen der Achsensymmetrie wissen wir, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten vorkommen.
Dann benötigen wir auch die erste Ableitungsfunktion, da wir Informationen über einen Hochpunkt haben.
Schauen wir uns nun die konkreten Punkte an. Wir haben eine Nullstelle bei x gleich minus eins.
2. Bedingungen formulieren
Nullstelle bei $x = -1$:
Das bedeutet, f von minus eins ist gleich null.
Außerdem ist ein Hochpunkt bei H zwei strich neun gegeben. Das liefert uns zwei Informationen.
Hochpunkt bei $H(2 | 9)$:
Erstens muss die Funktion durch den Punkt zwei neun verlaufen, also ist f von zwei gleich neun.
Zweitens muss die Steigung an der Stelle zwei null sein, da dort ein Extrempunkt vorliegt.
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