Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion vierten Grades
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Aufgabe 2 (30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 27, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild heißt $K_f$.
2.1 Zeigen Sie, dass f bei $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ Nullstellen hat.
Untersuchen Sie $K_f$ auf Extrem- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-1,25 \le x \le 4$. (12 Punkte)
2.2 Prüfen Sie, ob die y-Achse den Inhalt der Fläche zwischen $K_f$ und der
x-Achse im Verhältnis 1:2 teilt. (5 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir die Funktion f von x gleich minus x hoch vier plus acht x hoch drei minus achtzehn x quadrat plus siebenundzwanzig.
Funktionsuntersuchung
Zuerst zeigen wir, dass minus eins eine Nullstelle ist, indem wir den Wert in die Funktion einsetzen.
2.1 Nullstellen nachweisen
Wir rechnen das schrittweise aus. Minus eins hoch vier ist eins, also bleibt minus eins. Acht mal minus eins ist minus acht. Achtzehn mal eins ist achtzehn. Insgesamt erhalten wir minus eins minus acht minus achtzehn plus siebenundzwanzig, was null ergibt.
Jetzt prüfen wir die x gleich drei. Wir setzen drei ein und erhalten minus einundachtzig plus zweihundertsechzehn minus hundertzweiundsechzig plus siebenundzwanzig.
Auch hier ergibt die Summe genau null. Damit ist gezeigt, dass beide x-Werte Nullstellen sind.
Als Nächstes suchen wir die Extrem- und Wendepunkte. Dazu berechnen wir die ersten drei Ableitungen der Funktion.
Ableitungen
Für die Extrema setzen wir die erste Ableitung gleich null und klammern x aus.
Extrempunkte bestimmen
In der Klammer erkennen wir die zweite binomische Formel, x minus drei zum Quadrat. Die Lösungen sind also x gleich null und x gleich drei.
Wir prüfen die zweite Ableitung. f-strich-strich von null ist minus sechsunddreißig, also kleiner null. Das bedeutet, wir haben einen Hochpunkt bei null und siebenundzwanzig. Bei x gleich drei ist die zweite Ableitung null, also prüfen wir die Umgebung oder f-strich-strich-strich.
Da f-strich-strich-strich von drei ungleich null ist, handelt es sich bei drei um einen Sattelpunkt, da f-strich dort ebenfalls null ist.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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