Küme Problemi

Merhaba İclal, küme problemleriyle ilgili bu soruyu birlikte çözelim.

Bize verilen bilgileri bir özetleyelim. A kesişim B'nin A kesişim C'ye eşit olduğu söylenmiş. Ayrıca A, B ve C kümelerinin eleman sayıları dörder tane ve birleşimlerinin eleman sayısı ise yedi.

Bizden istenen ise, A kartezyen çarpım B birleşim C kümesinin eleman sayısıdır. Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü hatırlayalım.

s A zaten dört olarak verilmişti. O halde tek ihtiyacımız olan, B birleşim C'nin kaç farklı değer alabileceğini bulmak.

Şimdi bir Venn şeması üzerinden durumu analiz edelim. Üç kümenin birleşimi yedi elemanlı.

A kesişim B eşittir A kesişim C bilgisi çok kritik. Bu, A kümesinin içindeki B ve C ile ortak olan bölgelerin aynı olması demektir.

Burada x, üç kümenin kesişimi olsun. k ise sadece iki kümenin kesiştiği bölgeler olsun. Şart gereği bu bölgeler eşit olmalı.

A'nın eleman sayısı dört olduğu için, sadece A'ya ait bölgeye dört eksi x eksi k kalır. Birleşimden B birleşim C'yi bulmak için s A birleşim B birleşim C'den s A fark B birleşim C'yi çıkarabiliriz.

A kümesinden B ve C'nin ortak kısımlarını attığımızda geriye kalan eleman sayısına a diyelim.

O halde s B birleşim C ifadesi yedi eksi a olacaktır. a'nın hangi değerleri alabileceğine bakalım.

a değerini sınırlayan faktörlere bakalım. B ve C kümeleri dörder elemanlı. B birleşim C'nin en az dört elemanlı olması gerekir.

Ayrıca a, küme eleman sayısı olduğu için negatif olamaz ve s A olan dörtten de büyük olamaz.