Köklü Sayılar İşlem Sorusu
Yayınlanma:
a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere aşağıdaki kutuların içine çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri her kutuya bir işlem gelecek şekilde yerleştirildiğinde aşağıdaki eşitlikler sağlanmaktadır.
$\sqrt{8} - \sqrt{a} = a$
$a \cdot \sqrt{b} = b$
$\sqrt{a} \div \sqrt{c} = a$
Buna göre $c^a - b$ ifadesinin eşiti kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Soruda görsel içerik var: Soru içerisinde işlemleri yerleştirmek için üç adet yeşil kare kutucuk bulunmaktadır. Bu kutucuklara çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinden biri her kutuya bir tane gelecek şekilde yerleştirilmelidir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Bedia, seninle birlikte bu köklü sayılar sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak verilen bilgileri ve eşitlikleri inceleyelim.
Köklü Sayılar ve İşlemler
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
Kutuların içine çıkarma ($-$), çarpma ($\cdot$) ve bölme ($/$) işlemleri her kutuya birer tane gelecek şekilde yerleştirilecektir.
Elimizdeki üç eşitliği sırasıyla yazalım.
İlk eşitliğe odaklanalım. Sekizin karekökü, iki kök ikiye eşittir. Eğer a bir pozitif tam sayıysa, bu eşitliğin sağlanması için a'nın iki olması makul bir tahmindir. Gelin bunu kontrol edelim.
Birinci Eşitliğin Analizi
a yerine iki koyduğumuzda, birinci eşitlik iki kök iki eksi kök iki, yani kök ikiye eşit olur. Ancak sonucun a'ya, yani ikiye eşit olması gerekiyordu. Demek ki çıkarma işlemi burada çalışmıyor. Diğer olasılıkları düşünelim.
Peki ya çarpma işlemini denersek? İki kök iki çarpı kök iki, iki çarpı ikiden dört yapar. Sonuç dört olur, fakat a değerini iki seçmiştik. Sonucun a ile aynı olması gerektiği için bu da uymadı.
Şimdi a eşittir iki durumunu birinci eşitlikte çarpma işlemiyle tekrar kurgulayalım. Eğer birinci kutudaki işlem çarpma ise, karekök sekiz çarpı karekök a eşittir a olmalıdır.
Çarpma İşlemi Varsayımı
Her iki tarafın karesini alalım. Sol taraf sekiz a, sağ taraf ise a kare olur.
a pozitif bir tam sayı olduğuna göre, her iki tarafı a ile sadeleştirebiliriz. Buradan a değerini sekiz olarak buluruz.
Şimdi de birinci kutuya çıkarma işlemi geldiğini varsayalım. Yani karekök sekiz eksi karekök a eşittir a olsun.
Çıkarma İşlemi Varsayımı
Karekök sekiz, iki kök ikidir. Bu ifadeden köklü bir sayıyı çıkardığımızda sonucun tam sayı olması için a'nın iki olması gerekir. Fakat az önce a eşittir iki için sonucun tam sayı çıkmadığını görmüştük. Dolayısıyla çıkarma işlemi burada geçerli bir a tam sayısı vermez.
Son olarak, birinci kutunun bölme işlemi olduğunu varsayalım. Yani karekök sekiz bölü karekök a eşittir a olsun.
Bölme İşlemi Varsayımı
Buradan karekök içinde sekiz bölü a eşittir a elde ederiz. Her iki tarafın karesini aldığımızda, sekiz bölü a eşittir a kare olur.
İçler dışlar çarpımı yaparsak, a küp eşittir sekiz buluruz. Hangi pozitif tam sayının küpü sekizdir? Tabii ki ikinin. Yani a eşittir iki olur. Bu çok tutarlı bir sonuçtur.
Şimdi a eşittir iki durumunu netleştirdik. Birinci işlem bölme işlemi oldu. Geriye çıkarma ve çarpma işlemleri kaldı. İkinci eşitliğe bakalım.
İkinci Eşitliğin Çözümü
Eğer ikinci işlem çarpma ise, iki çarpı karekök b eşittir b olur.
Her iki tarafın karesini alalım. Dört b eşittir b kare elde ederiz. b pozitif tam sayı olduğundan, b'ler sadeleşir ve b eşittir dört bulunur.
Çözümün devamı Solvi’de
16 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
