Kare ve Dik Üçgende En Küçük Değer Problemi

MathematicsCenometry Optimization and SimilarityZorYKS

Yayınlanma:

Soru

1. ABCD kare ve BEC dik üçgen olmak üzere,

[KL] // [BE], K $\in$ [BC]

|DC| = 4 cm, |AE| = 6 cm

Buna göre, $|AK| + |KL|$ en küçük değerini aldığında $|KC|$ uzunluğu kaç santimetre olur?

A) $3 - \frac{2}{\sqrt{2}}$

B) $4 - \frac{4}{\sqrt{3}}$

C) $6 - \frac{2}{\sqrt{3}}$

D) $2 - \frac{1}{\sqrt{2}}$

E) $8 - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Soruda görsel içerik var: Şekilde ABCD karesi bulunmaktadır. Karenin sağ tarafına bitişik bir dik üçgen (BEC) çizilmiştir. AB kenarının uzantısı üzerinde bir E noktası vardır. [KL] doğru parçası [BE]'ye paraleldir. K noktası [BC] kenarı üzerindedir. Dotted line (kesikli çizgi) A noktasından K noktasına ve K noktasından L noktasına kadar çizilmiştir. ABCD karesinin tüm köşelerinde dik açı sembolü vardır. B köşesi BEC üçgeni için de bir dik açıdır. Verilen ölçüler: |DC| = 4 cm (karenin bir kenarı), |AE| = 6 cm.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Bu soruda $|AK| + |KL|$ toplamının en küçük değerini alması durumunda $|KC|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor. Önce verilenleri görsel üzerinde netleştirelim.

Verilenler

- ABCD Kare, $BE \perp BC$

- $|DC|=4 \Rightarrow$ Kare kenarı 4 cm

- $|AE|=6$ cm

2
Adım 2

Problemi analitik düzlemde modelleyerek çözelim. D noktasını orijin yani (0,0) kabul edelim. Bu durumda karenin köşe koordinatları şöyle olur.

A(0,4)B(4,4)C(4,0)D(0,0)
3
Adım 3

AE uzunluğu 6 verilmiş. A noktası (0,4) olduğuna göre, yatay doğrusu üzerindeki E noktası (6,4) olacaktır.

4
Adım 4

K noktası BC üzerinde olduğu için apsisi 4'tür. Bizden istenen |KC| uzunluğuna y dersek, K noktası (4, y) olur.

5
Adım 5

Şimdi |KL| uzunluğunu y cinsinden ifade edelim. CE üçgeninin hipotenüsü olan doğrunun eğimine bakalım.

$$m_{CE} = \frac{4-0}{6-4} = \frac{4}{2} = 2$$
6
Adım 6

C noktası (4,0)'da. Bu noktadan geçen ve eğimi 2 olan doğru üzerinde, y kadar yükseldiğimizde yatayda ne kadar gittiğimizi buluruz.

Eğim = $\frac{\text{Dikey}}{\text{Yatay}} = 2 \Rightarrow \text{Yatay} = \frac{\text{Dikey}}{2}$

7
Adım 7

Yani L noktası ile K noktası arasındaki yatay mesafe, yüksekliğin yarısıdır. Yani |KL| eşittir y bölü 2.

8
Adım 8

|AK| uzunluğunu da Pisagor ile yazalım. A(0,4) ve K(4,y) noktaları arasındaki mesafe.

$$|AK| = \sqrt{(4-0)^2 + (4-y)^2} = \sqrt{16 + (4-y)^2}$$
9
Adım 9

Şimdi toplam uzunluk fonksiyonumuzu yazalım: $f(y) = |AK| + |KL|$.

$$f(y) = \sqrt{16 + (4-y)^2} + \frac{y}{2}$$

Minimum için türev alıp sıfıra eşitleyelim: $f'(y) = 0$

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Cenometry Optimization and Similarity
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Paralelkenar Alan Hesaplama Geometry · Orta Belirli İntegral ile f(x) Fonksiyonu Yorumlama Integral · Zor Paralelkenar Alanı Hesaplama Geometry · Orta Dikdörtgen Çevreleri Farkı Geometry · Zor İki Kardeşin Yaş Problemi Age Problems · Kolay Yaş Problemleri Örneği Age Problems · Kolay

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir