Kare Karton Kesimi Problemi

Merhaba Esra, seninle birlikte bu güzel geometri ve üslü sayı sorusunu adım adım çözelim.

Sorumuzda bir kenarının uzunluğu iki yüz santimetreden küçük olan kare şeklinde bir kartonumuz var.

Bu karton yatay olarak üç kez, dikey olarak ise sekiz kez kesilerek eş dikdörtgenler elde ediliyor. Bir kesim işlemiyle ilgili kuralları hatırlayalım.

Yatay olarak üç kesim yapmak demek, kartonu dikeyde dört eş parçaya bölmek demektir. Dikey olarak sekiz kesim yapmak ise yatayda dokuz eş parçaya bölmek demektir.

Benzer şekilde, dikey sekiz kesim yaptığımızda dokuz eş parça elde ederiz.

Elde edilen bu küçük dikdörtgenlerin bir kenarı karenin bir kenarının dörtte biri, diğer kenarı ise dokuzda biridir.

Soru bize bu eş dikdörtgenlerin bir kenar uzunluğunun santimetre cinsinden ikinin pozitif tam sayı kuvvetine, diğer kenar uzunluğunun ise altının bir pozitif tam sayı kuvvetine eşit olduğunu söylüyor.

Şimdi bu eşitlikleri kullanarak karenin kenar uzunluğu olan a'yı bulalım.

Buradan, a ifadesinin hem ikinin kuvveti şeklinde hem de üç ve ikinin kuvveti çarpımı şeklinde yazılabileceğini görüyoruz. Bu iki ifadenin birbirine eşit olması gerekir.

Sol tarafta sadece iki tabanında bir sayı var. Sağ taraftaki üç tabanının yok olabilmesi için üssün yani m artı ikinin sıfır olması gerekirdi ama m pozitif bir tam sayı olmak zorunda. O halde bu eşitliği sağlayacak tek durum, m değerlerini ve k değerlerini incelemektir.

Eğer y otuz altı olursa, karenin bir kenarı a, dokuz çarpı otuz altıdan üç yüz yirmi dört santimetre olur. Fakat a'nın iki yüz santimetreden küçük olması gerekiyordu. Bu durum şartı sağlamaz.