Kare Dik Prizma ve Karınca Problemi
Yayınlanma:
1. Aşağıda görseli verilen kare dik prizmanın A noktasında bulunan karıncanın yanal yüzey üzerinde işaretlenmiş pembe renkli yolu takip ederek B noktasına en kısa yoldan ulaşabilmesi için $4\sqrt{3}$ birim yol alması gerekmektedir. Buna göre, bu kare dik prizmanın hacmi en büyük değerini aldığında prizmanın taban ayrıtı kaç birim olur? A) $\sqrt{2}$ B) $\frac{8\sqrt{2}}{7}$ C) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ D) $2\sqrt{2}$ E) $3\sqrt{2}$
Soruda görsel içerik var: Bir kare dik prizma çizimi yer almaktadır. A noktası prizmanın alt taban köşelerinden birinde yer alır. B noktası ise prizmanın üst tabanında, A'nın tam karşısındaki dikey kenarın en üst köşesindedir. Bir karınca A noktasından başlayıp, yan yüzeyler üzerinde ilerleyerek, kırık kırmızı bir hat takip ederek B noktasına ulaşmaktadır. Bu yol toplamda 4√3 birim uzunluğundadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Toprak, kare dik prizma üzerinde hareket eden bir karıncanın en kısa yol problemini türev kullanarak çözeceğiz.
Kare Dik Prizma ve En Kısa Yol
Karıncamız A noktasından başlayıp yan yüzeyler üzerinden dolanarak B noktasına ulaşıyor. Şekle baktığımızda karıncanın prizmanın iki yan yüzeyini katettiğini görüyoruz.
Prizmanın bu iki yüzeyini bir kağıt gibi açarsak, en kısa yolun bu açınım üzerindeki bir dik üçgenin hipotenüsü olduğunu fark ederiz.
Taban ayrıtına x, yüksekliğe h diyelim. Karınca iki yüzey geçtiği için yatay mesafe iki x, dikey mesafe ise h olur.
Bu denklemi düzenleyelim. İki x'in karesi dört x kare yapar. Dört kök üçün karesi ise on altı çarpı üçten kırk sekizdir.
Buradan yükseklik h kareyi, kırk sekiz eksi dört x kare olarak yalnız bırakabiliriz.
Soru bizden prizmanın hacminin en büyük olmasını istiyor. Kare dik prizmanın hacim formülünü hatırlayalım.
Hacim Maksimizasyonu
Türev alabilmek için hacmi tek değişkene bağlı yazmalıyız. Önceki adımdaki h kare ifadesini kullanmak için hacmin karesini düşünelim.
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
