Kablo Maliyeti Optimizasyonu

Merhaba Fatma, seninle birlikte bu soruyu çözelim. Sorumuzda bir optimizasyon problemi ele alacağız.

İlk olarak problemi daha iyi görebilmek için kıyı şeridini ve mesafeleri gösteren geometrik bir model çizelim.

Gördüğün gibi fenerin kıyıya dik izdüşüm noktasından kablonun karaya çıktığı yere kadar olan mesafeye y dersek, kıyı boyunca döşenecek kablo uzunluğu kırk beş eksi y olur.

Pisagor teoreminden su altındaki kablonun uzunluğunu y'nin karesi artı yirmi dördün karesinin karekökü olarak buluruz.

Yirmi dördün karesi beş yüz yetmiş altı olduğu için bunu sadeleştirelim.

Şimdi maliyet tablosuna bakalım. Kıyıdaki birim maliyet x, su altındaki birim maliyet ise beş x bölü dört olarak verilmiş.

Bu durumda toplam maliyet fonksiyonumuz, su altı maliyeti ile kıyı maliyetinin toplamı olur.

Maliyeti minimum yapmak için türev yöntemini kullanacağız. x pozitif bir sabit olduğu için, fonksiyonu x'e bölerek sadece y'ye bağlı bir fonksiyon elde edebiliriz.

Bu f fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyeceğiz. Önce türevi yazalım.

Kareköklü ifadenin türevini almak için zincir kuralını uygulayalım. Karekök içindeki ifadenin türevi yani iki y, bölü iki kök içinde y'nin karesi artı beş yüz yetmiş altı olacaktır.

İki çarpanlarını sadeleştirerek türevimizi daha sade hale getirelim.

Minimum noktayı bulmak için türevi sıfıra eşitliyoruz.

Eksi biri karşı tarafa artı bir olarak atalım.