İntegral ve Ters Fonksiyon Özelliği

Merhaba babanen, bu AYT matematik sorusunda ters fonksiyon ve integral arasındaki ilişkiyi kullanarak bir alan hesabı yapacağız.

Bize f x eşittir x kare eksi on altı fonksiyonu verilmiş. Fonksiyonun birebir ve örten olduğu belirtilmiş, bu da tersinin alınabileceği anlamına gelir.

Şimdi sorulan integralin ilk kısmına bakalım: dörtten beşe kadar karekök içinde x kare eksi on altı de x.

Bu ifadeyi daha iyi anlamak için f x'in tersini bulalım. y eşittir x kare eksi on altı denkleminde x'i yalnız bırakalım.

On altıyı karşıya atarsak, y artı on altı eşittir x kare olur.

Her iki tarafın karekökünü aldığımızda x eşittir karekök içinde y artı on altı sonucuna ulaşırız.

Dikkat ederseniz bu ifade, sorudaki ikinci integralin içindeki fonksiyonun aynısıdır.

Ancak burada bir küçük dizgi hatası olabilir, fonksiyonumuz x kare eksi on altı iken integralde artı on altı verilmiş. Sorunun genel mantığı f ve f'in tersi arasındaki alan kuralına dayalıdır.

Gelin bu durumu grafik üzerinde inceleyelim. f x fonksiyonu bir parabol belirtir ama sadece tanımlı olduğu aralığı alacağız.

İntegral kuralını hatırlayalım. Bir fonksiyonun kendisinin dörtten beşe integrali ile tersinin f dört ve f beş arasındaki integralleri toplamı bir dikdörtgen alan farkına eşittir.

Burada a eşittir dört ve b eşittir beş diyelim. Sınırları hesaplayalım.