Funktionsuntersuchung und Flächenberechnung
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Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = ax^3 + bx^2, \ x \in \mathbb{R}; \ a,b \neq 0$. Ihr Schaubild ist $K_h$.
4.4 $K_h$ hat im Punkt $H(2|6)$ einen Hochpunkt.
Bestimmen Sie einen Funktionsterm von $h$.
(5 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x) = 2\cos(\frac{\pi}{2}x) + 3, \ x \in [0;6]$. Ihr Schaubild ist $K_g$.
4.5 Zeichnen Sie $K_g$.
Das Schaubild $K_g$ soll so in y-Richtung gestreckt werden, dass die Hochpunkte den y-Wert 7,5 haben. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für die gestreckte Kurve an. (5 Punkte)
4.6 $K_f$ und $K_g$ schneiden sich an den Stellen $x = 1$ und $x = 3$.
Berechnen Sie den Inhalt der zwischen $K_f$ und $K_g$ eingeschlossenen Fläche.
(4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: A partial view of a Cartesian coordinate system is visible in the top right. The x-axis shows values 0, 1, 2, 3. The y-axis shows values 1, 2, 3. A part of a graph (likely a parabola or cubic function) is shown intersecting the x-axis near x=0.5 and x=3.5, with a peak clearly above y=3. The grid lines are spaced at 0.5 unit intervals.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir den Funktionsterm einer Funktion dritten Grades bestimmen. Gegeben ist h von x gleich a mal x hoch drei plus b mal x quadrat. Wir wissen außerdem, dass der Graph einen Hochpunkt bei zwei strich sechs hat.
Aufgabe 4.4: Funktionsterm bestimmen
Um die Unbekannten a und b zu finden, benötigen wir zwei Gleichungen. Die erste Information steckt in den Koordinaten des Punktes selbst. Da der Punkt auf dem Graphen liegt, muss h von zwei gleich sechs sein.
Die zweite Information kommt aus der Tatsache, dass es ein Hochpunkt ist. An einem Extrempunkt muss die erste Ableitung gleich null sein. Also ist h strich von zwei gleich null.
Leiten wir zuerst die Funktion h nach x ab. Aus a x hoch drei wird drei a x quadrat, und aus b x quadrat wird zwei b x.
Jetzt setzen wir den x-Wert zwei in unsere erste Bedingung ein. Wir erhalten a mal zwei hoch drei plus b mal zwei zum quadrat gleich sechs.
Das vereinfachen wir zu acht a plus vier b gleich sechs.
Nun zur zweiten Bedingung. Wir setzen zwei in die Ableitungsfunktion ein und setzen das Ergebnis gleich null. Das ergibt drei a mal zwei zum quadrat plus zwei b mal zwei gleich null.
Vereinfacht ergibt das zwölf a plus vier b gleich null.
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