Funktionstransformationen und Analyse von Ableitungsgraphen
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1.3 Beschreiben Sie, wie das Schaubild mit der Gleichung $y = -2e^x + 3$ aus dem Schaubild mit der Gleichung $y = e^x$ hervorgeht. (3 Punkte)
1.4 Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_{g'}$ der Ableitungsfunktion $g'$ einer Funktion $g$. Das Schaubild von $g$ ist $K_g$. Begründen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. (6 Punkte)
(1) $K_g$ besitzt genau zwei Wendepunkte.
(2) $K_g$ besitzt genau zwei Hochpunkte.
(3) $K_g$ besitzt genau zwei Tangenten die parallel zur 1. Winkelhalbierenden verlaufen.
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen $K_{g'}$ der Ableitungsfunktion $g'$. Der Graph ist eine wellenförmige Kurve (ähnlich einer Polynomfunktion 3. Grades), die durch folgende Punkte verläuft bzw. Merkmale aufweist: Nullstellen bei ca. $x = -3$, $x = -0,5$ und $x = 2$. Ein lokales Maximum liegt etwa bei $x = -2$ mit $y \approx 2$. Ein lokales Minimum liegt etwa bei $x = 1$ mit $y \approx -4$. Der y-Achsenabschnitt liegt bei ca. $-3$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns zwei Teile an. Zuerst beschreiben wir eine Funktionstransformation und analysieren dann Eigenschaften einer Funktion basierend auf ihrem Ableitungsgraphen.
Analysis von Funktionstransformationen und Ableitungen
In Teil eins komma drei sollen wir beschreiben, wie der Graph der Funktion y gleich minus zwei mal e hoch x plus drei aus dem Graphen von y gleich e hoch x entsteht.
Aufgabe 1.3: Transformation
Zuerst betrachten wir den Faktor minus zwei. Das Minuszeichen bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse.
1. Spiegelung an der x-Achse (Faktor -1)
Der Faktor zwei sorgt für eine Streckung in y-Richtung um den Faktor zwei.
2. Streckung in y-Richtung mit Faktor 2
Schließlich bewirkt das plus drei eine Verschiebung des gesamten Graphen um drei Einheiten nach oben in y-Richtung.
3. Verschiebung um 3 Einheiten nach oben
Kommen wir nun zu Teil eins komma vier. Wir sehen den Graphen der Ableitungsfunktion g Strich. Wir müssen Aussagen über die Originalfunktion g prüfen.
Aufgabe 1.4: Analyse von K_g anhand von K_g'
Aussage eins lautet: K g besitzt genau zwei Wendepunkte. Ein Wendepunkt von g liegt dort vor, wo die Ableitung g Strich eine Extremstelle hat.
(1) K_g besitzt genau zwei Wendepunkte?
Wenn wir uns den Graphen von g Strich ansehen, erkennen wir einen Hochpunkt bei etwa x gleich minus zwei und einen Tiefpunkt bei etwa x gleich eins. Das sind genau zwei Extremstellen.
Da g Strich zwei Extremstellen hat, hat g genau zwei Wendepunkte. Die Aussage ist also wahr.
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