Funktionsanalyse und Flächenberechnung
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1.5 Begründen Sie jeweils, warum keines der beiden Schaubilder zur Funktion $f$ mit $f(x) = x \cdot (x-2)^2$, $x \in \mathbb{R}$, gehören kann. (4 Punkte)
1.6 Gegeben sind eine Parabel mit der Gleichung $y = x^2 + 4$ und eine Gerade mit der Gleichung $y = 8$. Skizzieren Sie die Parabel und die Gerade. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Parabel und der Geraden eingeschlossen wird. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt zwei Koordinatensysteme mit Graphen. Graph A zeigt eine Funktion dritten Grades mit einer doppelten Nullstelle bei x = -2 und einer einfachen Nullstelle bei x = 0. Er kommt von minus Unendlich und geht gegen plus Unendlich. Graph B zeigt eine Funktion, die von plus Unendlich kommt, eine einfache Nullstelle bei x = 0 hat, ein lokales Minimum erreicht und dann eine doppelte Nullstelle bei x = 2 berührt, bevor sie gegen minus Unendlich abfällt.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Hallo! Wir schauen uns heute die Aufgabe eins Punkt fünf an. Wir sollen begründen, warum keines der Schaubilder A oder B zur gegebenen Funktion f passt.
Analyse der Funktion f(x)
Zuerst betrachten wir die Nullstellen der Funktion. Wir setzen f von x gleich null.
Dank des Satzes vom Nullprodukt finden wir zwei Nullstellen heraus.
Das ergibt eine einfache Nullstelle bei x gleich null und eine doppelte Nullstelle bei x gleich zwei.
Bei einer einfachen Nullstelle wechselt der Graph das Vorzeichen, er schneidet also die Achse. Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die Achse nur.
Nullstellen-Eigenschaften:
- $x=0$: Einfach (Schnittpunkt)
- $x=2$: Doppelt (Berührpunkt)
Schauen wir uns nun Schaubild A an.
Kritik an Schaubild A
In Schaubild A sehen wir Nullstellen bei x gleich null und x gleich minus zwei. Unsere Funktion hat aber eine Nullstelle bei plus zwei.
- Nullstellen liegen bei $0$ und $-2$.
- Unsere Funktion $f$ hat Nullstellen bei $0$ und $+2$.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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