Fonksiyon ve Türevinin Grafiği ile Belirli İntegral Hesabı

Merhaba! Bu soru, fonksiyon grafikleri ve belirli integral kavramlarını harmanlayan oldukça eğitici bir soru. Matematiksel yeteneklerimizi konuşturmaya başlayalım!

Öncelikle grafiği dikkatle inceleyelim. Kırmızı çizgi fonksiyonun türevi olan y eşittir f'in türevi grafiği, ve doğrusal bir çizgi.

Ayrıca y eksenini kestiği noktanın ordinatı 4 olarak verilmiş. Hem mavi renkli f fonksiyonu, hem de kırmızı renkli türevi bu noktadan geçiyor.

Bu bize çok önemli iki bilgi veriyor. Birincisi, x yerine sıfır koyduğumuzda f fonksiyonu 4'e eşit olur.

İkincisi, türev fonksiyonunda da x yerine sıfır yazdığımızda sonucun 4 olduğunu görüyoruz.

Şimdi bu bilgileri denkleme dönüştürelim. Türev grafiği doğrusal olduğu için fonksiyonumuzu ax artı b formatında yazabiliriz.

Türevde sıfırın 4 olduğunu bulmuştuk. x gördüğümüz yere sıfır yazarsak b sabitinin doğrudan 4 olduğunu anlarız.

Türevden ana fonksiyona geçmek için her iki tarafın belirsiz integralini almamız gerekir.

İntegral işlemini uygularsak, f x fonksiyonu a bölü iki x kare, artı 4x ve artı integral sabiti olan c'ye eşit olur.

En başta f sıfırın da 4'e eşit olduğunu not etmiştik. x'e sıfır vererek c sabitinin de 4 olduğunu rahatça söyleyebiliriz.

Fonksiyonumuzu oluşturduğumuza göre, soruda verilen belirli integral bilgisini kullanıp a bilinmeyenini bulalım.

f x fonksiyonunu integralin içine yerleştiriyoruz.

Sırayla integralleri hesaplıyoruz. x karenin integrali x küp bölü üç olduğu için ilk terim a bölü altı x küp olur. 4x'in integrali iki x kare, 4'ün integrali ise 4 xtir. Sınırlarımızı ekleyelim.