Extremwertprobleme und Kurvendiskussion
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1.6 In der nebenstehenden Abbildung schließen das zur y-Achse symmetrische Schaubild $K_g$ der Funktion g und die x-Achse eine Fläche ein. In diese wird ein achsenparalleles Rechteck eingeschrieben.
Geben Sie eine Zielfunktion an, mit deren Hilfe das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt bestimmt werden kann. (3 Punkte)
1.7 Das Schaubild $K_g$ aus 1.6 ist das Schaubild der Ableitungsfunktion der Funktion h, es gilt also $h' = g$. Treffen Sie Aussagen über die Lage und Anzahl der Wendestellen von h. (3 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse zeigt einen Graphen $K_g$. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Der Graph verläuft im negativen y-Bereich zwischen zwei Nullstellen auf der x-Achse und bildet eine U-förmige Kurve mit einem lokalen Minimum auf der y-Achse. Außerhalb der beiden Nullstellen verläuft der Graph oberhalb der x-Achse, fällt aber an den Rändern wieder ab.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit einer achsensymmetrischen Funktion g. Wir sollen eine Zielfunktion formulieren, um den maximalen Flächeninhalt eines eingeschriebenen Rechtecks zu bestimmen.
Aufgabe 1.6: Zielfunktion für Flächeninhalt
Betrachten wir das Schaubild. Da die Funktion g achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wählen wir einen Punkt x auf der positiven x-Achse. Das Rechteck erstreckt sich dann von minus x bis plus x.
Die Breite des Rechtecks beträgt also zwei mal x. Die Höhe wird durch den Funktionswert g von x bestimmt. Da das Schaubild unterhalb der x-Achse liegt, ist g von x negativ. Für einen positiven Flächeninhalt nehmen wir den Betrag, also minus g von x.
Die Zielfunktion A von x berechnet sich aus Breite mal Höhe. Das ergibt zwei x mal minus g von x.
Kommen wir zu Aufgabenteil eins Punkt sieben. Hier ist g die Ableitungsfunktion von h. Wir sollen Aussagen über die Wendestellen von h treffen.
Aufgabe 1.7: Wendestellen von h
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